Cho hai đường tròn \(\left( {O;4} \right)\) và \(\left( {O';3} \right)\) cắt nhau tại hai điểm \(A,B\).

Câu hỏi số 671634:

Vận dụng cao

Cho hai đường tròn \(\left( {O;4} \right)\) và \(\left( {O';3} \right)\) cắt nhau tại hai điểm \(A,B\). Gọi \(AC,AD\) lần lượt là các đường kính của \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) sao cho \(AC,AD\) vuông góc với nhau như hình vẽ.

Độ dài \(BC\) bằng

A. \(\dfrac{{36}}{5}\).

B. \(\dfrac{{16}}{5}\).

C. 6 .

D. \(\dfrac{{32}}{5}\).

Đáp án đúng là: D

Phương pháp giải

Gọi H là trung điểm của AB.

Chứng minh được O, H, O’ thẳng hàng; C, B, D thẳng hàng.

Áp dụng tính chất đường kính đi qua trung điểm của dây (không đi qua tâm) thì vuông góc với dây đó.

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có đường cao.

Giải chi tiết

Gọi H là trung điểm của AB.

Áp dụng tính chất đường kính đi qua trung điểm của dây (không đi qua tâm) thì vuông góc với dây đó, ta có:

\(OH \bot AB;O'H \bot AB \Rightarrow O,H,O'\) thẳng hàng

Dễ dàng chứng minh:

OH là đường trung bình \(\Delta ABC \Rightarrow OH\parallel CB\)

HO’ là đường trung bình \(\Delta ABD \Rightarrow HO'\parallel BD\)

Mà O, H, O’ thẳng hàng suy ra C, B, D thẳng hàng.

Áp dụng định lí Pytago vào \(\Delta ACD\) vuông tại A có:

\(CD = \sqrt {A{C^2} + A{D^2}} = \sqrt {{{(4.2)}^2} + {{(3.2)}^2}} = 10\)

Dễ dàng chứng minh OO’ là đường trung bình \(\Delta ACD\)

\( \Rightarrow OO' = \dfrac{{CD}}{2} = \dfrac{{10}}{2} = 5\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta AOO'\) vuông tại A có \(AH \bot OO'\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AH.OO' = AO.AO' \Rightarrow AH = \dfrac{{AO.AO'}}{{OO'}} = \dfrac{{4.3}}{5} = \dfrac{{12}}{5}\\ \Rightarrow AB = 2.AH = \dfrac{{24}}{5}\end{array}\)

Xét (O’) có AD là đường kính, B thuộc (O)

\( \Rightarrow \angle ABD = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Áp dụng định lí Pytago vào \(\Delta ABD\) vuông tại B có:

\(BD = \sqrt {A{D^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{(3.2)}^2} - {{\left( {\dfrac{{24}}{5}} \right)}^2}} = \dfrac{{18}}{5}\)

\( \Rightarrow BC = CD - BD = 10 - \dfrac{{18}}{5} = \dfrac{{32}}{5}\)

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:671634

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.