Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \left| {{x^3} - m{x^2} + 12x + 2m} \right|\) luôn đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) ?

Câu 672023: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \left| {{x^3} - m{x^2} + 12x + 2m} \right|\) luôn đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) ?

A. 19 .

B. 18 .

C. 20 .

D. 21 .

Câu hỏi : 672023

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) đồng biến trên \(\left( {a; + \infty } \right)\) khi và chỉ khi

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}y'\left( a \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {a; + \infty } \right)\\y\left( a \right) \ge 0\end{array} \right.\)

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}y'\left( a \right) \le 0\,\,\forall x \in \left( {a; + \infty } \right)\\y\left( a \right) \le 0\end{array} \right.\)

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Hàm số \(y = \left| {{x^3} - m{x^2} + 12x + 2m} \right|\) luôn đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y' = 3{x^2} - 2mx + 12 \ge 0,\forall x \in (1; + \infty )}\\{y(1) \ge 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y' = 3{x^2} - 2mx + 12 \le 0,\forall x \in (1; + \infty )}\\{y(1) \le 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3{x^2} - 2mx + 12 \ge 0\\m + 13 \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}3{x^2} - 2mx + 12 \le 0\\m + 13 \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2m \le 2x + \dfrac{{12}}{x},\forall x \in (1; + \infty )\\x \ge - 13\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2m \ge 2x + \dfrac{{12}}{x},\forall x \in (1; + \infty )\\x \le - 13\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Xét hàm số \(h(x) = 3x + \dfrac{{12}}{x}\) trên \((1; + \infty )\), ta có:
\({h^\prime }(x) = 3 - \dfrac{{12}}{{{x^2}}} = \dfrac{{3{x^2} - 12}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2({\rm{ KTM }})}\\{x = 2(TM)}\end{array}} \right.\)
Bảng biến thiên của \(h(x)\) trên \((1; + \infty )\)
Từ bảng biến thiên, ta có:
\((*) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2m \le 12}\\{m \ge - 13}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 6}\\{m \ge - 13}\end{array} \Leftrightarrow - 13 \le m \le 6} \right.} \right.\)
Mà m nguyên nên \(m \in \{ - 13; - 12; \ldots ; - 1;0;1;2; \ldots ;6\} \)
Vậy có 20 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn đề bài.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.