Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B,AB = BC = a,AD = 2a\). Tam

Câu hỏi số 672026:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B,AB = BC = a,AD = 2a\). Tam giác \(SAD\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) là

A. \(6\pi {a^2}\).

B. \(10\pi {a^2}\).

C. \(5\pi {a^2}\).

D. \(3\pi {a^2}\).

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

Xác định chiều cao hình chóp: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(P) \bot (Q)}\\{(P) \cap (Q) = a \Rightarrow d \bot (Q)}\\{d \bot a;d \subset (P)}\end{array}} \right.\)

Gọi \(E\) là trung điểm của A D ta chỉ ra mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . A B C cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S\). E A B C.

Từ đó ta đưa về bài toán tìm bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy.

Sử dụng công thức tính nhanh \(R = \sqrt {{r^2} + \dfrac{{{h^2}}}{4}} \) với \(R\) là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, \(r\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy hình chóp, \(h\) là chiều cao hình chóp

Sử dụng công thức tính diện tích mặt cầu \(S = 4\pi {R^2}\)

Giải chi tiết

Gọi \(E\) là trung điểm của A D suy ra \(AE = \dfrac{{AD}}{2} = a = AB = BC\)

Mà \(BC\parallel AD\) và \(BC \bot AD\) nên EABC là hình vuông cạnh \(a\).

Lại có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SAD) \bot (ABCD)}\\{(SAD) \cap (ABCD) = AD}\end{array}} \right.\)

Mà \(SE \bot AD\) (do tam giác SAD đều có SE là trung tuyến)

\( \Rightarrow SE \bot (ABCD) \Rightarrow SE \bot (EABC)\)

Nhận thấy EABC là hình vuông nên đường tròn ngoại tiếp EABC cũng là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Hay mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SEABC.

Mà hình chóp SEABC có cạnh bên \(SE \bot (EABC)\) và đáy EABC là hình vuông cạnh \(a\). Gọi \(I\) là tâm hình vuông EABC

Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp SEABC là \(R = \sqrt {I{E^2} + \dfrac{{S{E^2}}}{4}} \)

Ta có \(BE = \sqrt {A{E^2} + A{B^2}} = a\sqrt 2 \Rightarrow IE = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Tam giác SAD đều cạnh 2a có SE là trung tuyến nên \(SE = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \)

Suy ra \(R = \sqrt {I{E^2} + \dfrac{{S{E^2}}}{4}} = \sqrt {\dfrac{{2{a^2}}}{4} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

Diện tích mặt cầu là \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi \cdot \dfrac{{5{a^2}}}{4} = 5\pi {a^2}\)

Xem lời giải

Câu hỏi:672026

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.