Cho hàm số \(y = {x^6} + \left( {m + 4} \right){x^5} + \left( {16 - {m^2}} \right){x^4} + 2\). Gọi \(S\) là tập

Câu hỏi số 672027:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = {x^6} + \left( {m + 4} \right){x^5} + \left( {16 - {m^2}} \right){x^4} + 2\). Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại \(x = 0\). Tổng các phần tử của \(S\) bằng

A. 9 .

B. 6 .

C. 8 .

D. 3 .

Đáp án đúng là: B

Phương pháp giải

Tính đạo hàm y’ và tìm điều kiện của m để \({y^\prime }\) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm \(x = 0\).

Giải chi tiết

ТХĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}y' = 6{x^5} + 5(4 + m){x^4} + 4\left( {16 - {m^2}} \right){x^3}\\ = {x^3}\left[ {6{x^2} + 5(4 + m)x + 4\left( {16 - {m^2}} \right)} \right] = {x^3}.g\left( x \right)\\y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{g(x) = 6{x^2} + 5(4 + m)x + 4\left( {16 - {m^2}} \right) = 0}\end{array}} \right.\end{array}\)

Do \(x = 0\) là nghiệm của đạo hàm nên để hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\) thì \({y^\prime }\) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm \(x = 0\).

TH1: \(x = 0\) là nghiệm của phương trình \(g(x) = 0\). Khi đó ta có: \(16 - {m^2} = 0 \Leftrightarrow m = \pm 4\).

+ Với \(m = 4\) thì \(g(x) = 6{x^2} + 40x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = - \dfrac{{20}}{3}}\end{array}} \right.\).

Khi đó \(x = 0\) là nghiệm bội 4 của phương trình \({y^\prime } = 0\), do đó \(x = 0\) không là cực trị của hàm số.

\( \Rightarrow m = 4\) không thỏa mãn.

+ Với \(m = - 4\) thì \(g(x) = 6{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Khi đó \(x = 0\) là nghiệm bội 5 của phương trình \(y' = 0\), do đó \(x = 0\) là cực tiểu của hàm số.

\( \Rightarrow m = - 4\) thỏa mãn.

TH2: \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình \({g^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 4\).

Ta có: \(g(0) = 4\left( {16 - {m^2}} \right)\).

\({y^\prime } = {x^3}g(x)\) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm \(x = 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} g(x) > 0}\\{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} g(x) < 0}\end{array} \Leftrightarrow 4\left( {16 - {m^2}} \right) > 0 \Leftrightarrow - 4 < m < 4.} \right.\)

Kết hợp 2 TH ta có: \( - 4 \le m < 4\).

Mà \(m\) là số nguyên dương nên \(m \in \{ 1;2;3\} = S\).

Vậy tổng các phần tử của \(S\) bằng \(1 + 2 + 3 = 6\).

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:672027

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.