Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa

Câu hỏi số 672028:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn:

\({\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = f\left( x \right) \cdot {e^x},\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right) = 2.{\rm{\;}}\)

Khi đó \(f\left( 2 \right)\) thuộc khoảng nào sau đây?

A. \(\left( {11;12} \right)\).

B. \(\left( {12;13} \right)\).

C. \(\left( {9;10} \right)\).

D. \(\left( {13;14} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

\({\left( {f'(x)} \right)^2} = f(x).{e^x} \Leftrightarrow f'(x) = \sqrt {f(x)} .{e^{\dfrac{x}{2}}} \Leftrightarrow \dfrac{{f'(x)}}{{2\sqrt {f(x)} }} = \dfrac{1}{2}{e^{\dfrac{x}{2}}}\)

Lấy tích phân 2 vế và tìm f(2)

Giải chi tiết

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nên ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{f^\prime }(x) \ge 0}\\{f(x) > f(0),\forall x > 0}\end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {f'(x)} \right)^2} = f(x).{e^x} \Leftrightarrow f'(x) = \sqrt {f(x)} .{e^{\dfrac{x}{2}}} \Leftrightarrow \dfrac{{f'(x)}}{{2\sqrt {f(x)} }} = \dfrac{1}{2}{e^{\dfrac{x}{2}}}\\ \Rightarrow \int_0^2 {\dfrac{{f'(x)}}{{2\sqrt {f(x)} }}} dx = \left. {\int_0^2 {\dfrac{1}{2}{e^{\dfrac{x}{2}}}} dx \Leftrightarrow \sqrt {f(x)} } \right|_0^2 = \left. {{e^{\dfrac{x}{2}}}} \right|_0^2\\ \Leftrightarrow \sqrt {f(2)} - \sqrt {f(0)} = e - 1\\ \Rightarrow f(2) = {(e + \sqrt 2 - 1)^2} \in (9;10)\end{array}\)

Xem lời giải

Câu hỏi:672028

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.