Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn:
\({\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = f\left( x \right) \cdot {e^x},\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right) = 2.{\rm{\;}}\)
Khi đó \(f\left( 2 \right)\) thuộc khoảng nào sau đây?
Đáp án đúng là: C
\({\left( {f'(x)} \right)^2} = f(x).{e^x} \Leftrightarrow f'(x) = \sqrt {f(x)} .{e^{\dfrac{x}{2}}} \Leftrightarrow \dfrac{{f'(x)}}{{2\sqrt {f(x)} }} = \dfrac{1}{2}{e^{\dfrac{x}{2}}}\)
Lấy tích phân 2 vế và tìm f(2)
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nên ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{f^\prime }(x) \ge 0}\\{f(x) > f(0),\forall x > 0}\end{array}} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {f'(x)} \right)^2} = f(x).{e^x} \Leftrightarrow f'(x) = \sqrt {f(x)} .{e^{\dfrac{x}{2}}} \Leftrightarrow \dfrac{{f'(x)}}{{2\sqrt {f(x)} }} = \dfrac{1}{2}{e^{\dfrac{x}{2}}}\\ \Rightarrow \int_0^2 {\dfrac{{f'(x)}}{{2\sqrt {f(x)} }}} dx = \left. {\int_0^2 {\dfrac{1}{2}{e^{\dfrac{x}{2}}}} dx \Leftrightarrow \sqrt {f(x)} } \right|_0^2 = \left. {{e^{\dfrac{x}{2}}}} \right|_0^2\\ \Leftrightarrow \sqrt {f(2)} - \sqrt {f(0)} = e - 1\\ \Rightarrow f(2) = {(e + \sqrt 2 - 1)^2} \in (9;10)\end{array}\)
Hỗ trợ - Hướng dẫn
![](/themes/images/call.png)
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com