Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) là \(f'\left( x \right) = {x^2} + 2x - 3\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 10;20} \right]\) để hàm số \(y = f\left( {{x^2} + 3x - m} \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\) ?

Câu 672031: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) là \(f'\left( x \right) = {x^2} + 2x - 3\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 10;20} \right]\) để hàm số \(y = f\left( {{x^2} + 3x - m} \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\) ?

A. 16 .

B. 20 .

C. 17 .

D. 18 .

Câu hỏi : 672031

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên \((a;b) \Leftrightarrow {f^\prime }(x) \ge 0\forall x \in (a;b).\)

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\)
Ta có: \(y = f\left( {{x^2} + 3x - m} \right) = g(x)\)
\( \Rightarrow {g^\prime }(x) = (2x + 3){f^\prime }\left( {{x^2} + 3x - m} \right)\)
Để hàm số \(y = g(x)\) đồng biến trên \((0;2) \Rightarrow {g^\prime }(x) \ge 0\forall x \in (0;2)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
Trên \((0;2)\) ta có \(2x + 3 > 0\forall x \in (0;2)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow g'(x) \ge 0,\forall x \in (0;2)\\ \Leftrightarrow {f^\prime }\left( {{x^2} + 3x - m} \right) \ge 0,\forall x \in (0;2)\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 3x + m \ge 1,\forall x \in (0;2)(1)}\\{{x^2} + 3x + m \le - 3,\forall x \in (0;2)(2)}\end{array}} \right.\end{array}\)
\( \Leftrightarrow h(x) = {x^2} + 3x - 1 \ge - m,\forall x \in (0;2)\)
\( \Leftrightarrow - m \le \mathop {\min }\limits_{[0;2]} h(x)\)
Ta có \({h^\prime }(x) = 2x + 3 > 0\forall x \in (0;2)\)
\( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \((0;2) \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{[0;2]} h(x) = h(0) = - 1\)
\( \Leftrightarrow - m \le - 1 \Leftrightarrow m \ge 1\)\((2)\)
\( \Leftrightarrow k(x) = {x^2} + 3x + 3 \le - m\)\(\forall x \in (0;2) \Leftrightarrow - m \ge {\max _{[0;2]}}k(x)\)
Ta có \({k^\prime }(x) = 2x + 3 > 0\forall x \in (0;2)\)
\( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \((0;2)\) \( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{_{[0;2]}} k(x) = k(2) = 13\)
\( \Leftrightarrow - m \ge 13 \Leftrightarrow m \le - 13\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge 1}\\{\;m \le - 13}\end{array}} \right.\).
Kết hợp điều kiện đề bài \( \Leftrightarrow 1 \le {\rm{m}} \le 20\)
Có 20 giá trị nguyên của \({\rm{m}}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.