Cho hình lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\). Biết khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left(
Cho hình lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\). Biết khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC'} \right)\) bằng \(a\), góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC'} \right)\) và \(\left( {BCC'B'} \right)\) bằng \(\alpha \) với \({\rm{cos}}\alpha = \dfrac{1}{3}\). Thể tích khối lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\) bằng
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Gọi \(M\) là trung điểm của AB, G là trọng tâm tam giác ABC, gọi \({\rm{H}}\) là hình chiếu vuông góc của C trên \(C'M\). Dựng đường thẳng đi qua G và song song với CH, cắt C’M tại điểm N.
\( \Rightarrow d\left( {C;\left( {ABC'} \right)} \right) = CH = a\)
\( \Rightarrow \) góc giữa 2 mặt phẳng \(\left( {ABC'} \right)\) và \(\left( {BCC'B'} \right)\) là góc \(\angle AGN = \alpha \)
Tù đó tìm CC’ và thể tích lăng trụ.
Gọi \(M\) là trung điểm của AB, G là trọng tâm tam giác ABC
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CC' \bot AB}\\{CM \bot AB}\end{array} \Rightarrow AB \bot \left( {CC'M} \right)} \right.\)
\( \Rightarrow \left( {CC'M} \right) \bot \left( {ABC'} \right)\). Mà \(\left( {CC'M} \right) \cap \left( {ABC'} \right) = C'M\) nên nếu
gọi \({\rm{H}}\) là hình chiếu vuông góc của C trên \(C'M\) thì H là hình chiếu của C trên mặt phẳng \(\left( {ABC'} \right)\)
\( \Rightarrow d\left( {C;\left( {ABC'} \right)} \right) = CH = a\)
Dựng đường thẳng đi qua G và song song với CH, cắt C’M tại điểm N
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{GN \bot (ABC)}\\{AG \bot \left( {BCC'B'} \right)}\end{array}} \right.\) nên góc giữa 2 mặt phẳng \(\left( {ABC'} \right)\) và \(\left( {BCC'B'} \right)\)
là góc \(\angle AGN = \alpha \)
\(\begin{array}{l}GN = \dfrac{1}{3}CH = \dfrac{a}{3};AG = \dfrac{{GN}}{{\cos \alpha }} = a\\ \Rightarrow AB = AG\sqrt 3 = a\sqrt 3 \Rightarrow CM = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}AB = \dfrac{3}{2}a\\\dfrac{1}{{C{C^{\prime 2}}}} = \dfrac{1}{{C{H^2}}} - \dfrac{1}{{C{M^2}}} \Rightarrow C{C^\prime } = \dfrac{{3a\sqrt 5 }}{5}\\{S_{\Delta ABC}} = {(a\sqrt 3 )^2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}\end{array}\)
Vậy thể tích khối lăng trụ bằng \(V = CC'.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{9{a^3}\sqrt {15} }}{{20}}\)
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
