Cho hình lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\). Biết khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left(

Câu hỏi số 672032:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\). Biết khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC'} \right)\) bằng \(a\), góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC'} \right)\) và \(\left( {BCC'B'} \right)\) bằng \(\alpha \) với \({\rm{cos}}\alpha = \dfrac{1}{3}\). Thể tích khối lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\) bằng

A. \(\dfrac{{3{a^3}\sqrt {15} }}{{20}}\).

B. \(\dfrac{{9{a^3}\sqrt {15} }}{{10}}\).

C. \(\dfrac{{3{a^3}\sqrt {15} }}{{10}}\).

D. \(\dfrac{{9{a^3}\sqrt {15} }}{{20}}\).

Đáp án đúng là: D

Phương pháp giải

Gọi \(M\) là trung điểm của AB, G là trọng tâm tam giác ABC, gọi \({\rm{H}}\) là hình chiếu vuông góc của C trên \(C'M\). Dựng đường thẳng đi qua G và song song với CH, cắt C’M tại điểm N.

\( \Rightarrow d\left( {C;\left( {ABC'} \right)} \right) = CH = a\)

\( \Rightarrow \) góc giữa 2 mặt phẳng \(\left( {ABC'} \right)\) và \(\left( {BCC'B'} \right)\) là góc \(\angle AGN = \alpha \)

Tù đó tìm CC’ và thể tích lăng trụ.

Giải chi tiết

Gọi \(M\) là trung điểm của AB, G là trọng tâm tam giác ABC

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CC' \bot AB}\\{CM \bot AB}\end{array} \Rightarrow AB \bot \left( {CC'M} \right)} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {CC'M} \right) \bot \left( {ABC'} \right)\). Mà \(\left( {CC'M} \right) \cap \left( {ABC'} \right) = C'M\) nên nếu

gọi \({\rm{H}}\) là hình chiếu vuông góc của C trên \(C'M\) thì H là hình chiếu của C trên mặt phẳng \(\left( {ABC'} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {C;\left( {ABC'} \right)} \right) = CH = a\)

Dựng đường thẳng đi qua G và song song với CH, cắt C’M tại điểm N

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{GN \bot (ABC)}\\{AG \bot \left( {BCC'B'} \right)}\end{array}} \right.\) nên góc giữa 2 mặt phẳng \(\left( {ABC'} \right)\) và \(\left( {BCC'B'} \right)\)

là góc \(\angle AGN = \alpha \)

\(\begin{array}{l}GN = \dfrac{1}{3}CH = \dfrac{a}{3};AG = \dfrac{{GN}}{{\cos \alpha }} = a\\ \Rightarrow AB = AG\sqrt 3 = a\sqrt 3 \Rightarrow CM = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}AB = \dfrac{3}{2}a\\\dfrac{1}{{C{C^{\prime 2}}}} = \dfrac{1}{{C{H^2}}} - \dfrac{1}{{C{M^2}}} \Rightarrow C{C^\prime } = \dfrac{{3a\sqrt 5 }}{5}\\{S_{\Delta ABC}} = {(a\sqrt 3 )^2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}\end{array}\)

Vậy thể tích khối lăng trụ bằng \(V = CC'.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{9{a^3}\sqrt {15} }}{{20}}\)

Xem lời giải

Câu hỏi:672032

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.