Có bao nhiêu số nguyên \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\) tồn tại số thực \(b \ge a\) thỏa mãn \(2a

Câu hỏi số 672033:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\) tồn tại số thực \(b \ge a\) thỏa mãn \(2a = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{2^b} + b} \right)\) và đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) chứa không quá 10 số nguyên?

A. 11 .

B. 21 .

C. 10 .

D. 20 .

Đáp án đúng là: B

Phương pháp giải

Đưa về bài toán xét hàm số \(y = {f_a}(b) = {2^b} + b - {4^a}\) đồng biến trên \([a;a + 10)\).

Giải chi tiết

Do đoạn [a ; b] chứa không quá 10 số nguyên nên ta có điều kiện đủ là: \(a \le b < a + 10\). Khi đó ta có:

Ta có \(2a = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{2^b} + b} \right) \Leftrightarrow {2^b} + b - {4^a} = 0\).

Xét hàm số \(y = {f_a}(b) = {2^b} + b - {4^a}\) có \({f_a}^\prime (b) = {2^b}\ln 2 + 1 > 0,\forall b \in \mathbb{R}\) tức hàm \({f_a}(b)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Kết hợp điều kiện cần ban đầu ta suy ra hàm số \({f_a}(b)\) đồng biến trên \([a;a + 10)\).

Như vậy điều kiện tồn tại nghiệm là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{f_a}(a + 10) > 0}\\{{f_a}(a) \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^{a + 10}} + a + 10 > {4^a}}\\{{2^a} + a \le {4^a}}\end{array}} \right.} \right.\).

Trường hợp 1: Nếu \(a + 10 < 0 \Leftrightarrow a \le - 11\) thì \({2^{a + 10}} + a + 10 \le {2^{ - 1}} - 1 < {4^{ - 11}}\) (loại)

Trường hợp 2: Nếu \(a + 10 \ge 0 \Leftrightarrow a \ge - 10\) thì khi đó \({2^{a + 10}} + a + 10 > {4^a} \Leftrightarrow {4^a} < {2^{a + 10}} \Leftrightarrow {2^{2a}} < {2^{a + 11}} \Leftrightarrow a < 11\)

Đối chiếu với điều kiện ta suy ra \( - 10 \le a \le 10\).

Do với mọi \(a \in [ - 10;10]\) thì bất phương trình \({2^{a + 10}} + a + 10 > {4^a}\) luôn xảy ra vì \({4^a} \le {2^{a + 10}} \le {2^{a + 10}} + a + 10\) (không có dấu bằng xảy ra).

Xét bất phương trình còn lại: \({2^a} + a \le {4^a}\) ta thấy cũng luôn đúng với mọi \(a \in [ - 10;10]\)

Vậy \(a \in [ - 10;10]\) thì thỏa mãn yêu cầu đề bài tức có 21 giá trị nguyên \(a\).

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:672033

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.