Tìm nghiệm nguyên dương các phương trình:a) \(2x + 13y = 156\)b) \(38x + 117y = 15\)c) \(21x - 18y =

Câu hỏi số 672198:

Vận dụng

Tìm nghiệm nguyên dương các phương trình:

a) \(2x + 13y = 156\)

b) \(38x + 117y = 15\)

c) \(21x - 18y = 4\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:672198

Phương pháp giải

Phương trình bậc nhất 2 ẩn \(ax + by = c({\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}}\) là các số nguyên; \({\rm{a}},{\rm{b}}\) không đồng thời bằng 0 ).

Ta có định lí: Điều kiện cần và đủ để phương trình \({\rm{ax}} + {\rm{by}} = {\rm{c}}({\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}}\) là các số nguyên; a, b không đồng thời bằng 0 ) có nghiệm nguyên là ước số chung lớn nhất của \({\rm{a}}\) và \({\rm{b}}\) là ước của \({\rm{c}}\).

Giải chi tiết

a) \(2x + 13y = 156\)

\( \Rightarrow x = \dfrac{{156 - 13y}}{2} = \dfrac{{2(78 - 7y) + y}}{2} = 78 - 7y + \dfrac{y}{2}\)

Để \(x \in Z \Rightarrow 7y \in Z,\dfrac{y}{2} \in Z\)

Đặt \(\dfrac{y}{2} = t\,\,\,(t \in Z) \Rightarrow y = 2t\)

\( \Rightarrow x = 78 - 7.2t + t = 78 - 13t\)

Để \(x > 0,y > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}78 - 13t > 0\\2t > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t > 0\\78 > 13t\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < t < 6\)

Mà \(t \in Z \Rightarrow t \in \{ 1;2;3;4;5\} \)

Ta có bảng giá trị:

Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương \((x,y) \in \{ (65;2),(52;4),(39;6),(26;8),(13;0)\} \)

b) \(38x + 117y = 15\)

\( \Rightarrow x = \dfrac{{15 - 117y}}{{38}} = \dfrac{{15 - 3y - 114y}}{{38}} = \dfrac{{15 - 3y}}{{38}} - 3y\)

Để \(x \in Z \Rightarrow \dfrac{{15 - 3y}}{{38}} \in Z\)

Đặt \(\dfrac{{15 - 3y}}{{38}} = t\quad (t \in Z)\)

\( \Rightarrow 15 - 3y = 38t \Rightarrow y = \dfrac{{ - 38t + 15}}{3} = \dfrac{{3(5 - 13t) + t}}{3} = 5 - 13t + \dfrac{t}{3}\)

Đặt \(\dfrac{t}{3} = z\,\,\,(z \in Z) \Rightarrow t = 3z\)

\( \Rightarrow y = 5 - 13.3z + z = 5 - 38z\)

\( \Rightarrow x = \dfrac{{15 - 3(5 - 38z)}}{{38}} - 3(5 - 38z) = z - 15 + 114z = 115z - 15\)

Để \(x > 0,y > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}115z - 15 > 0\\5 - 38z > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}115z > 15\\5 > 38z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z > \dfrac{{23}}{3}\\\dfrac{5}{{38}} > z\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{{23}}{3} < z < \dfrac{5}{{38}}\)

Mà \(z \in Z\) suy ra không có giá trị nào thỏa mãn của.

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên dương.

c) \(21x - 18y = 4\)

Với \(x,y\) là số nguyên thì vế trái chia hết cho 3 , vế phải không chia hết cho 3 .

Vậy không tồn tại số nguyên \((x;y)\) thỏa mãn phương trình.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link