Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi

Tìm nghiệm nguyên dương phương trình \(x + y + z + 9 = xyz\)

Câu 672201: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình \(x + y + z + 9 = xyz\)

Câu hỏi : 672201

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc cao nhiều ẩn bằng cách sắp xếp thứ tự các ẩn.

Khi phương trình đối xứng với các ẩn \(x,y,z, \ldots \), ta thường giả sử \(x \le y \le z \le  \ldots \) để giới hạn miền nghiệm của phương trình và bắt đầu đi tìm từ nghiệm bé nhất trở đi

  • (0) bình luận (0) lời giải
    ** Viết lời giải để bạn bè cùng tham khảo ngay tại đây

    Giải chi tiết:

    \(x + y + z + 9 = xyz\) (1)

    Không mất tính tổng quát, giả sử \(1 \le x \le y \le z\)

    Chia cả hai vế của (1) cho \(xyz > 0\) ta có: \(\dfrac{1}{{yz}} + \dfrac{1}{{xz}} + \dfrac{1}{{xy}} + \dfrac{9}{{xyz}} = 1\)

    Vì \( \Rightarrow 1 \le x \le y \le z \Rightarrow {x^2} \le xy \le xz \le yz \le xyz\)

    \(\begin{array}{l} \Rightarrow 1 = \dfrac{1}{{yz}} + \dfrac{1}{{xz}} + \dfrac{1}{{xy}} + \dfrac{9}{{xyz}} \le \dfrac{{12}}{{{x^2}}}\\ \Rightarrow {x^2} \le 12\end{array}\)

    Mà \(x \in Z \Rightarrow x \in \{ 1;2;3\} \)

    Với \(x = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{{yz}} + \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{9}{{yz}} = 1\)

    \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 + y + z + 9 = yz\\ \Leftrightarrow y + z - yz + 10 = 0\\ \Leftrightarrow  - y(z - 1) + z - 1 + 11 = 0\\ \Leftrightarrow (z - 1)(1 - y) =  - 11\\ \Leftrightarrow (z - 1)(y - 1) = 11\end{array}\)

    Vì \(\left\{ \begin{array}{l}z \ge 1\\y \ge 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}z - 1 \ge 0\\y - 1 \ge 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}z - 1 = 1\\y - 1 = 11\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}z - 1 = 11\\y - 1 = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}z = 2\\y = 12\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}z = 12\\y = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)

    \( \Rightarrow (x,y,z) \in \left\{ {(1;12;2),(1;2;12)} \right\}\)

    Với \(x = 2 \Rightarrow \dfrac{1}{{yz}} + \dfrac{1}{{2z}} + \dfrac{1}{{2y}} + \dfrac{9}{{2yz}} = 1\)

    \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 + y + z + 9 = 2yz\\ \Leftrightarrow y + z - 2yz + 11 = 0\\ \Leftrightarrow 2y + 2z - 4yz + 22 = 0\\ \Leftrightarrow  - 2y(2z - 1) + 2z - 1 + 23 = 0\\ \Leftrightarrow (2z - 1)(1 - 2y) =  - 23\\ \Leftrightarrow (2z - 1)(2y - 1) = 23\end{array}\)

    Vì \(\left\{ \begin{array}{l}y \ge 2\\z \ge 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2y - 1 \ge 3\\2z - 1 \ge 3\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2z - 1 = 1\\2y - 1 = 23\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = 1\\y = 12\end{array} \right.\)

    \( \Rightarrow (x,y,z) \in \left\{ {(2;12;1),(2;1;12)} \right\}\)

    Với \(x = 3 \Rightarrow \dfrac{1}{{yz}} + \dfrac{1}{{3z}} + \dfrac{1}{{3y}} + \dfrac{9}{{3yz}} = 1\)

    \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3 + y + z + 9 = 3yz\\ \Leftrightarrow y + z - 3yz + 12 = 0\\ \Leftrightarrow 3y + 3z - 9yz + 36 = 0\\ \Leftrightarrow  - 3y(3z - 1) + 3z - 1 + 37 = 0\\ \Leftrightarrow (3z - 1)(1 - 3y) =  - 37\\ \Leftrightarrow (3z - 1)(3y - 1) = 37\end{array}\)

    Vì \(\left\{ \begin{array}{l}y \ge 3\\z \ge 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3y - 1 \ge 9\\3z - 1 \ge 9\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3z - 1 = 1\\3y - 1 = 37\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = \dfrac{2}{3} \notin Z\\y = \dfrac{{38}}{3} \notin Z\end{array} \right.\)

    Vậy \( \Rightarrow (x,y,z) \in \left\{ {(1;12;2),(1;2;12),(2;12;1),(2;1;12)} \right\}\)

    Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Xem bình luận

Tham Gia Group Dành Cho 2K10 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com