Tìm nghiệm nguyên dương phương trình \(x + y + z + 9 = xyz\)
Tìm nghiệm nguyên dương phương trình \(x + y + z + 9 = xyz\)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc cao nhiều ẩn bằng cách sắp xếp thứ tự các ẩn.
Khi phương trình đối xứng với các ẩn \(x,y,z, \ldots \), ta thường giả sử \(x \le y \le z \le \ldots \) để giới hạn miền nghiệm của phương trình và bắt đầu đi tìm từ nghiệm bé nhất trở đi
\(x + y + z + 9 = xyz\) (1)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(1 \le x \le y \le z\)
Chia cả hai vế của (1) cho \(xyz > 0\) ta có: \(\dfrac{1}{{yz}} + \dfrac{1}{{xz}} + \dfrac{1}{{xy}} + \dfrac{9}{{xyz}} = 1\)
Vì \( \Rightarrow 1 \le x \le y \le z \Rightarrow {x^2} \le xy \le xz \le yz \le xyz\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 1 = \dfrac{1}{{yz}} + \dfrac{1}{{xz}} + \dfrac{1}{{xy}} + \dfrac{9}{{xyz}} \le \dfrac{{12}}{{{x^2}}}\\ \Rightarrow {x^2} \le 12\end{array}\)
Mà \(x \in Z \Rightarrow x \in \{ 1;2;3\} \)
Với \(x = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{{yz}} + \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{9}{{yz}} = 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 + y + z + 9 = yz\\ \Leftrightarrow y + z - yz + 10 = 0\\ \Leftrightarrow - y(z - 1) + z - 1 + 11 = 0\\ \Leftrightarrow (z - 1)(1 - y) = - 11\\ \Leftrightarrow (z - 1)(y - 1) = 11\end{array}\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}z \ge 1\\y \ge 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}z - 1 \ge 0\\y - 1 \ge 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}z - 1 = 1\\y - 1 = 11\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}z - 1 = 11\\y - 1 = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}z = 2\\y = 12\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}z = 12\\y = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow (x,y,z) \in \left\{ {(1;12;2),(1;2;12)} \right\}\)
Với \(x = 2 \Rightarrow \dfrac{1}{{yz}} + \dfrac{1}{{2z}} + \dfrac{1}{{2y}} + \dfrac{9}{{2yz}} = 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 + y + z + 9 = 2yz\\ \Leftrightarrow y + z - 2yz + 11 = 0\\ \Leftrightarrow 2y + 2z - 4yz + 22 = 0\\ \Leftrightarrow - 2y(2z - 1) + 2z - 1 + 23 = 0\\ \Leftrightarrow (2z - 1)(1 - 2y) = - 23\\ \Leftrightarrow (2z - 1)(2y - 1) = 23\end{array}\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}y \ge 2\\z \ge 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2y - 1 \ge 3\\2z - 1 \ge 3\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2z - 1 = 1\\2y - 1 = 23\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = 1\\y = 12\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow (x,y,z) \in \left\{ {(2;12;1),(2;1;12)} \right\}\)
Với \(x = 3 \Rightarrow \dfrac{1}{{yz}} + \dfrac{1}{{3z}} + \dfrac{1}{{3y}} + \dfrac{9}{{3yz}} = 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3 + y + z + 9 = 3yz\\ \Leftrightarrow y + z - 3yz + 12 = 0\\ \Leftrightarrow 3y + 3z - 9yz + 36 = 0\\ \Leftrightarrow - 3y(3z - 1) + 3z - 1 + 37 = 0\\ \Leftrightarrow (3z - 1)(1 - 3y) = - 37\\ \Leftrightarrow (3z - 1)(3y - 1) = 37\end{array}\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}y \ge 3\\z \ge 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3y - 1 \ge 9\\3z - 1 \ge 9\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3z - 1 = 1\\3y - 1 = 37\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = \dfrac{2}{3} \notin Z\\y = \dfrac{{38}}{3} \notin Z\end{array} \right.\)
Vậy \( \Rightarrow (x,y,z) \in \left\{ {(1;12;2),(1;2;12),(2;12;1),(2;1;12)} \right\}\)
Hỗ trợ - Hướng dẫn
![](/themes/images/call.png)
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com