Tìm nghiệm nguyên dương phương trình \(x + y + z + 9 = xyz\)

Câu hỏi số 672201:

Vận dụng cao

Phương pháp giải

Tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc cao nhiều ẩn bằng cách sắp xếp thứ tự các ẩn.

Khi phương trình đối xứng với các ẩn \(x,y,z, \ldots \), ta thường giả sử \(x \le y \le z \le \ldots \) để giới hạn miền nghiệm của phương trình và bắt đầu đi tìm từ nghiệm bé nhất trở đi

Giải chi tiết

\(x + y + z + 9 = xyz\) (1)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(1 \le x \le y \le z\)

Chia cả hai vế của (1) cho \(xyz > 0\) ta có: \(\dfrac{1}{{yz}} + \dfrac{1}{{xz}} + \dfrac{1}{{xy}} + \dfrac{9}{{xyz}} = 1\)

Vì \( \Rightarrow 1 \le x \le y \le z \Rightarrow {x^2} \le xy \le xz \le yz \le xyz\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 1 = \dfrac{1}{{yz}} + \dfrac{1}{{xz}} + \dfrac{1}{{xy}} + \dfrac{9}{{xyz}} \le \dfrac{{12}}{{{x^2}}}\\ \Rightarrow {x^2} \le 12\end{array}\)

Mà \(x \in Z \Rightarrow x \in \{ 1;2;3\} \)

Với \(x = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{{yz}} + \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{9}{{yz}} = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 + y + z + 9 = yz\\ \Leftrightarrow y + z - yz + 10 = 0\\ \Leftrightarrow - y(z - 1) + z - 1 + 11 = 0\\ \Leftrightarrow (z - 1)(1 - y) = - 11\\ \Leftrightarrow (z - 1)(y - 1) = 11\end{array}\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}z \ge 1\\y \ge 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}z - 1 \ge 0\\y - 1 \ge 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}z - 1 = 1\\y - 1 = 11\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}z - 1 = 11\\y - 1 = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}z = 2\\y = 12\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}z = 12\\y = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow (x,y,z) \in \left\{ {(1;12;2),(1;2;12)} \right\}\)

Với \(x = 2 \Rightarrow \dfrac{1}{{yz}} + \dfrac{1}{{2z}} + \dfrac{1}{{2y}} + \dfrac{9}{{2yz}} = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 + y + z + 9 = 2yz\\ \Leftrightarrow y + z - 2yz + 11 = 0\\ \Leftrightarrow 2y + 2z - 4yz + 22 = 0\\ \Leftrightarrow - 2y(2z - 1) + 2z - 1 + 23 = 0\\ \Leftrightarrow (2z - 1)(1 - 2y) = - 23\\ \Leftrightarrow (2z - 1)(2y - 1) = 23\end{array}\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}y \ge 2\\z \ge 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2y - 1 \ge 3\\2z - 1 \ge 3\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2z - 1 = 1\\2y - 1 = 23\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = 1\\y = 12\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow (x,y,z) \in \left\{ {(2;12;1),(2;1;12)} \right\}\)

Với \(x = 3 \Rightarrow \dfrac{1}{{yz}} + \dfrac{1}{{3z}} + \dfrac{1}{{3y}} + \dfrac{9}{{3yz}} = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3 + y + z + 9 = 3yz\\ \Leftrightarrow y + z - 3yz + 12 = 0\\ \Leftrightarrow 3y + 3z - 9yz + 36 = 0\\ \Leftrightarrow - 3y(3z - 1) + 3z - 1 + 37 = 0\\ \Leftrightarrow (3z - 1)(1 - 3y) = - 37\\ \Leftrightarrow (3z - 1)(3y - 1) = 37\end{array}\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}y \ge 3\\z \ge 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3y - 1 \ge 9\\3z - 1 \ge 9\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3z - 1 = 1\\3y - 1 = 37\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = \dfrac{2}{3} \notin Z\\y = \dfrac{{38}}{3} \notin Z\end{array} \right.\)

Vậy \( \Rightarrow (x,y,z) \in \left\{ {(1;12;2),(1;2;12),(2;12;1),(2;1;12)} \right\}\)

Xem lời giải

Câu hỏi:672201

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.