Tìm nghiệm nguyên dương phương trình \(x + y + z + 9 = xyz\)

Câu 672201: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình \(x + y + z + 9 = xyz\)

Xem lời giải

Câu hỏi : 672201

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc cao nhiều ẩn bằng cách sắp xếp thứ tự các ẩn.

Khi phương trình đối xứng với các ẩn \(x,y,z, \ldots \), ta thường giả sử \(x \le y \le z \le \ldots \) để giới hạn miền nghiệm của phương trình và bắt đầu đi tìm từ nghiệm bé nhất trở đi

(0) bình luận (0) lời giải

** Viết lời giải để bạn bè cùng tham khảo ngay tại đây
Viết lời giải

Up ảnh lời giải
Viết công thức
Giải chi tiết:
\(x + y + z + 9 = xyz\) (1)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(1 \le x \le y \le z\)
Chia cả hai vế của (1) cho \(xyz > 0\) ta có: \(\dfrac{1}{{yz}} + \dfrac{1}{{xz}} + \dfrac{1}{{xy}} + \dfrac{9}{{xyz}} = 1\)
Vì \( \Rightarrow 1 \le x \le y \le z \Rightarrow {x^2} \le xy \le xz \le yz \le xyz\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 1 = \dfrac{1}{{yz}} + \dfrac{1}{{xz}} + \dfrac{1}{{xy}} + \dfrac{9}{{xyz}} \le \dfrac{{12}}{{{x^2}}}\\ \Rightarrow {x^2} \le 12\end{array}\)
Mà \(x \in Z \Rightarrow x \in \{ 1;2;3\} \)
Với \(x = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{{yz}} + \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{9}{{yz}} = 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 + y + z + 9 = yz\\ \Leftrightarrow y + z - yz + 10 = 0\\ \Leftrightarrow - y(z - 1) + z - 1 + 11 = 0\\ \Leftrightarrow (z - 1)(1 - y) = - 11\\ \Leftrightarrow (z - 1)(y - 1) = 11\end{array}\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}z \ge 1\\y \ge 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}z - 1 \ge 0\\y - 1 \ge 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}z - 1 = 1\\y - 1 = 11\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}z - 1 = 11\\y - 1 = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}z = 2\\y = 12\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}z = 12\\y = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow (x,y,z) \in \left\{ {(1;12;2),(1;2;12)} \right\}\)
Với \(x = 2 \Rightarrow \dfrac{1}{{yz}} + \dfrac{1}{{2z}} + \dfrac{1}{{2y}} + \dfrac{9}{{2yz}} = 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 + y + z + 9 = 2yz\\ \Leftrightarrow y + z - 2yz + 11 = 0\\ \Leftrightarrow 2y + 2z - 4yz + 22 = 0\\ \Leftrightarrow - 2y(2z - 1) + 2z - 1 + 23 = 0\\ \Leftrightarrow (2z - 1)(1 - 2y) = - 23\\ \Leftrightarrow (2z - 1)(2y - 1) = 23\end{array}\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}y \ge 2\\z \ge 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2y - 1 \ge 3\\2z - 1 \ge 3\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2z - 1 = 1\\2y - 1 = 23\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = 1\\y = 12\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow (x,y,z) \in \left\{ {(2;12;1),(2;1;12)} \right\}\)
Với \(x = 3 \Rightarrow \dfrac{1}{{yz}} + \dfrac{1}{{3z}} + \dfrac{1}{{3y}} + \dfrac{9}{{3yz}} = 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3 + y + z + 9 = 3yz\\ \Leftrightarrow y + z - 3yz + 12 = 0\\ \Leftrightarrow 3y + 3z - 9yz + 36 = 0\\ \Leftrightarrow - 3y(3z - 1) + 3z - 1 + 37 = 0\\ \Leftrightarrow (3z - 1)(1 - 3y) = - 37\\ \Leftrightarrow (3z - 1)(3y - 1) = 37\end{array}\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}y \ge 3\\z \ge 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3y - 1 \ge 9\\3z - 1 \ge 9\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3z - 1 = 1\\3y - 1 = 37\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = \dfrac{2}{3} \notin Z\\y = \dfrac{{38}}{3} \notin Z\end{array} \right.\)
Vậy \( \Rightarrow (x,y,z) \in \left\{ {(1;12;2),(1;2;12),(2;12;1),(2;1;12)} \right\}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.