Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\), góc giữa
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\), góc giữa \(A'C\) với mặt đáy \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({45^0}\) và \(AA' = 4\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(CC'\). Khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) bằng
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Dựng góc giữa \(A'C\) với mặt đáy \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({45^0}\)
- \(d\left( {M,\left( {A'BC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {C',\left( {A'BC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right)\)
- Tính \(d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right)\)
Ta có: \(d\left( {M,\left( {A'BC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {C',\left( {A'BC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right)\)
Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\)
Vì \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(AH \bot BC\)
Mà \(AA' \bot BC \Rightarrow \left( {A'AH} \right) \bot BC \Rightarrow \left( {A'AH} \right) \bot \left( {A'BC} \right)\)
Kẻ \(AK \bot A'H\,\,\left( {K \in A'H} \right)\)
Khi đó \(AK \bot \left( {A'BC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = AK\)
Ta có: \(\left( {A'C,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {A'C,AC} \right) = \angle A'CA\)
Theo giả thiết \(\angle A'CA = {45^0} \Rightarrow \Delta A'AC\) vuông cân tại \(A\)
Do đó \(AC = AA' = 4\)
Khi đó \(BC = AC\sqrt 2 = 4\sqrt 2 \Rightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{4.4}}{{4\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 \)
Xét \(\Delta A'AH\) có \(AK \bot A'H\): \(AK = \dfrac{{AA'.AH}}{{\sqrt {AA{'^2} + A{H^2}} }} = \dfrac{{4.2\sqrt 2 }}{{\sqrt {16 + 8} }} = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}\)
\( \Rightarrow d\left( {M,\left( {A'BC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{4\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\)
Vậy khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) bằng \(\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\)
Chọn A
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
