Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\), góc giữa

Câu hỏi số 672289:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\), góc giữa \(A'C\) với mặt đáy \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({45^0}\) và \(AA' = 4\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(CC'\). Khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) bằng

A. \(\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

B. \(\dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}\).

C. \(\dfrac{{4\sqrt 6 }}{3}\).

D. \(\dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}\).

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải

- Dựng góc giữa \(A'C\) với mặt đáy \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({45^0}\)

- \(d\left( {M,\left( {A'BC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {C',\left( {A'BC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right)\)

- Tính \(d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right)\)

Giải chi tiết

Ta có: \(d\left( {M,\left( {A'BC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {C',\left( {A'BC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right)\)

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\)

Vì \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(AH \bot BC\)

Mà \(AA' \bot BC \Rightarrow \left( {A'AH} \right) \bot BC \Rightarrow \left( {A'AH} \right) \bot \left( {A'BC} \right)\)

Kẻ \(AK \bot A'H\,\,\left( {K \in A'H} \right)\)

Khi đó \(AK \bot \left( {A'BC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = AK\)

Ta có: \(\left( {A'C,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {A'C,AC} \right) = \angle A'CA\)

Theo giả thiết \(\angle A'CA = {45^0} \Rightarrow \Delta A'AC\) vuông cân tại \(A\)

Do đó \(AC = AA' = 4\)

Khi đó \(BC = AC\sqrt 2 = 4\sqrt 2 \Rightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{4.4}}{{4\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 \)

Xét \(\Delta A'AH\) có \(AK \bot A'H\): \(AK = \dfrac{{AA'.AH}}{{\sqrt {AA{'^2} + A{H^2}} }} = \dfrac{{4.2\sqrt 2 }}{{\sqrt {16 + 8} }} = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}\)

\( \Rightarrow d\left( {M,\left( {A'BC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{4\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\)

Vậy khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) bằng \(\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\)

Chọn A

Xem lời giải

Câu hỏi:672289

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.