Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({\log _5}\left( {\dfrac{{2{x^2} + 2{y^2} - x -

Câu hỏi số 672290:

Vận dụng

Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({\log _5}\left( {\dfrac{{2{x^2} + 2{y^2} - x - 2y + 2}}{{{x^2} + {y^2} - x + 5}}} \right) + 7{x^2} + 7{y^2} \le 21 + 14y\)?

A. 13.

B. 15.

C. 12.

D. 9.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:672290

Phương pháp giải

Dùng hàm đặc trưng

Giải chi tiết

Ta có: \({\log _5}\left( {\dfrac{{2{x^2} + 2{y^2} - x - 2y + 2}}{{{x^2} + {y^2} - x + 5}}} \right) + 7{x^2} + 7{y^2} \le 21 + 14y\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _5}\left( {\dfrac{{2{x^2} + 2{y^2} - x - 2y + 2}}{{{x^2} + {y^2} - x + 5}}} \right) + 7\left( {{x^2} + {y^2} - 2y - 3} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow {\log _5}\left( {2{x^2} + 2{y^2} - x - 2y + 2} \right) - {\log _5}\left( {{x^2} + {y^2} - x + 5} \right) + 7\left( {2{x^2} + 2{y^2} - x - 2y + 2} \right) - 7\left( {{x^2} + {y^2} - x + 5} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow {\log _5}\left( {2{x^2} + 2{y^2} - x - 2y + 2} \right) + 7\left( {2{x^2} + 2{y^2} - x - 2y + 2} \right) \le {\log _5}\left( {{x^2} + {y^2} - x + 5} \right) + 7\left( {{x^2} + {y^2} - x + 5} \right) & \left( * \right)\end{array}\)

Xét \(f\left( t \right) = {\log _5}t + 7t,\,\,t > 0\)

\(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 5}} + 7 > 0,\,\,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\)

Do đó hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Từ (*) suy ra \(2{x^2} + 2{y^2} - x - 2y + 2 \le 7\left( {{x^2} + {y^2} - x + 5} \right) \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2y - 3 \le 0 \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \le 4\)

Ta vẽ đường tròn tâm \(\left( {0;1} \right)\) bán kính \(R = 2\):

Dựa vào hình vẽ trên ta thấy có 13 cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn

Chọn A

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.