Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({\log _5}\left( {\dfrac{{2{x^2} + 2{y^2} - x - 2y + 2}}{{{x^2} + {y^2} - x + 5}}} \right) + 7{x^2} + 7{y^2} \le 21 + 14y\)?

Câu 672290: Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({\log _5}\left( {\dfrac{{2{x^2} + 2{y^2} - x - 2y + 2}}{{{x^2} + {y^2} - x + 5}}} \right) + 7{x^2} + 7{y^2} \le 21 + 14y\)?

A. 13.

B. 15.

C. 12.

D. 9.

Câu hỏi : 672290

Phương pháp giải:

Dùng hàm đặc trưng

Đáp án : A
(2) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có: \({\log _5}\left( {\dfrac{{2{x^2} + 2{y^2} - x - 2y + 2}}{{{x^2} + {y^2} - x + 5}}} \right) + 7{x^2} + 7{y^2} \le 21 + 14y\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _5}\left( {\dfrac{{2{x^2} + 2{y^2} - x - 2y + 2}}{{{x^2} + {y^2} - x + 5}}} \right) + 7\left( {{x^2} + {y^2} - 2y - 3} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow {\log _5}\left( {2{x^2} + 2{y^2} - x - 2y + 2} \right) - {\log _5}\left( {{x^2} + {y^2} - x + 5} \right) + 7\left( {2{x^2} + 2{y^2} - x - 2y + 2} \right) - 7\left( {{x^2} + {y^2} - x + 5} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow {\log _5}\left( {2{x^2} + 2{y^2} - x - 2y + 2} \right) + 7\left( {2{x^2} + 2{y^2} - x - 2y + 2} \right) \le {\log _5}\left( {{x^2} + {y^2} - x + 5} \right) + 7\left( {{x^2} + {y^2} - x + 5} \right) & \left( * \right)\end{array}\)
Xét \(f\left( t \right) = {\log _5}t + 7t,\,\,t > 0\)
\(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 5}} + 7 > 0,\,\,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\)
Do đó hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Từ (*) suy ra \(2{x^2} + 2{y^2} - x - 2y + 2 \le 7\left( {{x^2} + {y^2} - x + 5} \right) \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2y - 3 \le 0 \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \le 4\)
Ta vẽ đường tròn tâm \(\left( {0;1} \right)\) bán kính \(R = 2\):
Dựa vào hình vẽ trên ta thấy có 13 cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn
Chọn A

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.