Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi

Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({\log _5}\left( {\dfrac{{2{x^2} + 2{y^2} - x - 2y + 2}}{{{x^2} + {y^2} - x + 5}}} \right) + 7{x^2} + 7{y^2} \le 21 + 14y\)?

Câu 672290: Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({\log _5}\left( {\dfrac{{2{x^2} + 2{y^2} - x - 2y + 2}}{{{x^2} + {y^2} - x + 5}}} \right) + 7{x^2} + 7{y^2} \le 21 + 14y\)?

A. 13.

B. 15.

C. 12.

D. 9.

Câu hỏi : 672290

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Dùng hàm đặc trưng

  • Đáp án : A
    (0) bình luận (0) lời giải

    Giải chi tiết:

    Ta có: \({\log _5}\left( {\dfrac{{2{x^2} + 2{y^2} - x - 2y + 2}}{{{x^2} + {y^2} - x + 5}}} \right) + 7{x^2} + 7{y^2} \le 21 + 14y\)

    \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _5}\left( {\dfrac{{2{x^2} + 2{y^2} - x - 2y + 2}}{{{x^2} + {y^2} - x + 5}}} \right) + 7\left( {{x^2} + {y^2} - 2y - 3} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow {\log _5}\left( {2{x^2} + 2{y^2} - x - 2y + 2} \right) - {\log _5}\left( {{x^2} + {y^2} - x + 5} \right) + 7\left( {2{x^2} + 2{y^2} - x - 2y + 2} \right) - 7\left( {{x^2} + {y^2} - x + 5} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow {\log _5}\left( {2{x^2} + 2{y^2} - x - 2y + 2} \right) + 7\left( {2{x^2} + 2{y^2} - x - 2y + 2} \right) \le {\log _5}\left( {{x^2} + {y^2} - x + 5} \right) + 7\left( {{x^2} + {y^2} - x + 5} \right) & \left( * \right)\end{array}\)

    Xét \(f\left( t \right) = {\log _5}t + 7t,\,\,t > 0\)

    \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 5}} + 7 > 0,\,\,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\)

    Do đó hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

    Từ (*) suy ra \(2{x^2} + 2{y^2} - x - 2y + 2 \le 7\left( {{x^2} + {y^2} - x + 5} \right) \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2y - 3 \le 0 \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \le 4\)

    Ta vẽ đường tròn tâm \(\left( {0;1} \right)\) bán kính \(R = 2\):

    Dựa vào hình vẽ trên ta thấy có 13 cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn

    Chọn A

    Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com