Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({\log _5}\left( {\dfrac{{2{x^2} + 2{y^2} - x -
Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({\log _5}\left( {\dfrac{{2{x^2} + 2{y^2} - x - 2y + 2}}{{{x^2} + {y^2} - x + 5}}} \right) + 7{x^2} + 7{y^2} \le 21 + 14y\)?
Đáp án đúng là: A
Dùng hàm đặc trưng
Ta có: \({\log _5}\left( {\dfrac{{2{x^2} + 2{y^2} - x - 2y + 2}}{{{x^2} + {y^2} - x + 5}}} \right) + 7{x^2} + 7{y^2} \le 21 + 14y\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _5}\left( {\dfrac{{2{x^2} + 2{y^2} - x - 2y + 2}}{{{x^2} + {y^2} - x + 5}}} \right) + 7\left( {{x^2} + {y^2} - 2y - 3} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow {\log _5}\left( {2{x^2} + 2{y^2} - x - 2y + 2} \right) - {\log _5}\left( {{x^2} + {y^2} - x + 5} \right) + 7\left( {2{x^2} + 2{y^2} - x - 2y + 2} \right) - 7\left( {{x^2} + {y^2} - x + 5} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow {\log _5}\left( {2{x^2} + 2{y^2} - x - 2y + 2} \right) + 7\left( {2{x^2} + 2{y^2} - x - 2y + 2} \right) \le {\log _5}\left( {{x^2} + {y^2} - x + 5} \right) + 7\left( {{x^2} + {y^2} - x + 5} \right) & \left( * \right)\end{array}\)
Xét \(f\left( t \right) = {\log _5}t + 7t,\,\,t > 0\)
\(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 5}} + 7 > 0,\,\,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\)
Do đó hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Từ (*) suy ra \(2{x^2} + 2{y^2} - x - 2y + 2 \le 7\left( {{x^2} + {y^2} - x + 5} \right) \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2y - 3 \le 0 \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \le 4\)
Ta vẽ đường tròn tâm \(\left( {0;1} \right)\) bán kính \(R = 2\):
Dựa vào hình vẽ trên ta thấy có 13 cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn
Chọn A
Hỗ trợ - Hướng dẫn
![](/themes/images/call.png)
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com