Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để tồn tại duy nhất cặp

Câu hỏi số 672295:

Vận dụng

Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để tồn tại duy nhất cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn các điều kiện \({\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}\left( {6x + 2y - 1} \right) = 1\) và \({x^2} + {y^2} + 4x - 4y + 8 - m = 0\). Tổng các giá trị của \(S\) bằng

A. \(54\).

B. \(60\).

C. \(66\).

D. \(42\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:672295

Phương pháp giải

Sử dụng tương giao của hai hàm số

Giải chi tiết

Ta có: \({\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}\left( {6x + 2y - 1} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2 = 6x + 2y - 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 6x - 2y + 3 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 7\)

Lại có: \({x^2} + {y^2} + 4x - 4y + 8 - m = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 4x - 4y + 8 = m \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = m\)

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 7 & \left( {{C_1}} \right)\\{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = m\,\,\left( {{C_2}} \right)\end{array} \right.\)

Ta có: \(\left( {{C_1}} \right)\) tâm \(I\) bán kính \({R_1} = \sqrt 7 \)

\(\left( {{C_2}} \right)\) tâm \(J\) bán kính \({R_2} = \sqrt m \)

Xét \(m < 0\), loại

Xét \(m = 0\), loại

Xét \(m > 0\):

Để tồn tại duy nhất 1 điểm \(M\) thỏa mãn thì \(\left( {{C_1}} \right)\) phải tiếp xúc với \(\left( {{C_2}} \right)\)

TH1: 2 đường tròn tiếp xúc trong

\(IJ = {R_1} + {R_2} \Leftrightarrow \sqrt {26} = \sqrt m + \sqrt 7 \Leftrightarrow m = {\left( {\sqrt {26} - \sqrt 7 } \right)^2}\)

TH2: 2 đường tròn tiếp xúc ngoài

\(IJ = \left| {{R_1} - {R_2}} \right| \Leftrightarrow \sqrt {26} = \left| {\sqrt m - \sqrt 7 } \right| \Leftrightarrow \sqrt m = \sqrt {26} + \sqrt 7 \Leftrightarrow m = {\left( {\sqrt {26} + \sqrt 7 } \right)^2}\)

Vậy tổng các phần tử của \(S\) là \({\left( {\sqrt {26} - \sqrt 7 } \right)^2} + {\left( {\sqrt {26} + \sqrt 7 } \right)^2} = 2\left( {26 + 7} \right) = 66\)

Chọn C

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.