Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 2} \right)^2}\left( {{x^2} - x} \right)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 10x + m} \right)\) có đúng 5 điểm cực trị?

Câu 672296: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 2} \right)^2}\left( {{x^2} - x} \right)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 10x + m} \right)\) có đúng 5 điểm cực trị?

A. 21.

B. 23.

C. 24.

D. 14.

Câu hỏi : 672296

Phương pháp giải:

Tìm số nghiệm của phương trình \(g'\left( x \right) = 0\)

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {x - 2} \right)^2} = 0\\{x^2} - x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 0\\x = 1\end{array} \right.\) với \(x = 2\) là nghiệm kép
Lại có: \(g'\left( x \right) = \left( {2x - 10} \right)f'\left( {{x^2} - 10x + m} \right)\)
\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\f'\left( {{x^2} - 10x + m} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\{x^2} - 10x + m = 0\\{x^2} - 10x + m = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\{x^2} - 10x = - m & & \left( 1 \right)\\{x^2} - 10x - 1 = - m & \left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Để hàm số đã cho có 4 điểm cực trị thì phương trình (1) và (2) phải cho 4 nghiệm phân biệt khác 5
Ta vẽ đồ thị 2 hàm số \(y = {x^2} - 10x,\,\,y = {x^2} - 10x - 1\) trên cùng hệ trục:
Dựa vào đồ thị ta thấy để (1), (2) cho 4 nghiệm phân biệt thì \( - m > - 25 \Leftrightarrow m < 25\)
Mà \(m\) nguyên dương nên \(m \in \left\{ {1;2; \ldots ;24} \right\}\)
Chọn C

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.