Gọi \(S\) là tập hợp chứa tất cả giá trị hữu tỉ của tham số \(m\) để phương trình

Câu hỏi số 672297:

Vận dụng cao

Gọi \(S\) là tập hợp chứa tất cả giá trị hữu tỉ của tham số \(m\) để phương trình \({27^x} - 4m{.3^{2x}} + \left( {4{m^2} + m - 1} \right){.3^x} - 2{m^2} + m = 0\) có đúng hai nghiệm thực và \(\left( {24m} \right)\) nhận giá trị nguyên. Số phần tử của \(S\) là

A. \(2\).

B. \(12\).

C. \(13\).

D. \(14\).

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

Đặt \(t = {3^x}\)

Khi đó ta tìm điều kiện để phương trình có đúng 2 nghiệm thực trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Giải chi tiết

Đặt \(t = {3^x}\) (\(t > 0\))

Khi đó phương trình trở thành \({t^3} - 4m{t^2} + \left( {4{m^2} + m - 1} \right)t - 2{m^2} + m = 0\) (*)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2m - 1\\{t^2} - \left( {2m + 1} \right)t + m = 0\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\)

Ta thấy \({\Delta _1} = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 4m = 4{m^2} + 1 > 0,\,\,\forall m \in \mathbb{R}\)

Do đó (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt

TH1: \(2m - 1 \le 0 \Leftrightarrow m \le \dfrac{1}{2}\)

Khi đó để phương trình đã cho có 2 nghiệm thực phân biệt thì (1) có 2 nghiệm dương phân biệt

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} = 2m + 1 > 0\\{t_1}{t_2} = m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - \dfrac{1}{2}\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0\)

Kết hợp điều kiện \(m \le \dfrac{1}{2}\) ta được \(0 < m \le \dfrac{1}{2}\)

TH2: \(2m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{2}\)

Ta xét trường hợp (1) có 2 nghiệm dương phân biệt trong đó 1 nghiệm là \(2m - 1\)

Vì \(2m - 1\) là nghiệm của (1) nên \({\left( {2m - 1} \right)^2} - \left( {2m - 1} \right)\left( {2m + 1} \right) + m = 0 \Leftrightarrow 2 - 3m = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{2}{3}\)

Với \(m = \dfrac{2}{3}\) thì ta có (1) trở thành \({t^2} - \dfrac{7}{3}t + \dfrac{2}{3} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{1}{3}\\t = 2\end{array} \right.\) (thỏa mãn)

Vậy \(m \in \left( {0;\dfrac{1}{2}} \right] \cup \left\{ {\dfrac{2}{3}} \right\}\)

Mà \(24m\) nguyên nên \(24m \in \left\{ {1;2; \ldots ;12;16} \right\}\)

Vậy có 13 giá trị của \(m\) thỏa mãn

Chọn C

Xem lời giải

Câu hỏi:672297

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.