Gọi \(S\) là tập hợp chứa tất cả giá trị hữu tỉ của tham số \(m\) để phương trình
Gọi \(S\) là tập hợp chứa tất cả giá trị hữu tỉ của tham số \(m\) để phương trình \({27^x} - 4m{.3^{2x}} + \left( {4{m^2} + m - 1} \right){.3^x} - 2{m^2} + m = 0\) có đúng hai nghiệm thực và \(\left( {24m} \right)\) nhận giá trị nguyên. Số phần tử của \(S\) là
Đáp án đúng là: C
Đặt \(t = {3^x}\)
Khi đó ta tìm điều kiện để phương trình có đúng 2 nghiệm thực trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Đặt \(t = {3^x}\) (\(t > 0\))
Khi đó phương trình trở thành \({t^3} - 4m{t^2} + \left( {4{m^2} + m - 1} \right)t - 2{m^2} + m = 0\) (*)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2m - 1\\{t^2} - \left( {2m + 1} \right)t + m = 0\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\)
Ta thấy \({\Delta _1} = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 4m = 4{m^2} + 1 > 0,\,\,\forall m \in \mathbb{R}\)
Do đó (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt
TH1: \(2m - 1 \le 0 \Leftrightarrow m \le \dfrac{1}{2}\)
Khi đó để phương trình đã cho có 2 nghiệm thực phân biệt thì (1) có 2 nghiệm dương phân biệt
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} = 2m + 1 > 0\\{t_1}{t_2} = m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - \dfrac{1}{2}\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0\)
Kết hợp điều kiện \(m \le \dfrac{1}{2}\) ta được \(0 < m \le \dfrac{1}{2}\)
TH2: \(2m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{2}\)
Ta xét trường hợp (1) có 2 nghiệm dương phân biệt trong đó 1 nghiệm là \(2m - 1\)
Vì \(2m - 1\) là nghiệm của (1) nên \({\left( {2m - 1} \right)^2} - \left( {2m - 1} \right)\left( {2m + 1} \right) + m = 0 \Leftrightarrow 2 - 3m = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{2}{3}\)
Với \(m = \dfrac{2}{3}\) thì ta có (1) trở thành \({t^2} - \dfrac{7}{3}t + \dfrac{2}{3} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{1}{3}\\t = 2\end{array} \right.\) (thỏa mãn)
Vậy \(m \in \left( {0;\dfrac{1}{2}} \right] \cup \left\{ {\dfrac{2}{3}} \right\}\)
Mà \(24m\) nguyên nên \(24m \in \left\{ {1;2; \ldots ;12;16} \right\}\)
Vậy có 13 giá trị của \(m\) thỏa mãn
Chọn C
Hỗ trợ - Hướng dẫn
![](/themes/images/call.png)
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com