Cho \(a,\,\,b\) là hai số thực dương thỏa mãn \(2{b^2} = 7ab + 4{a^2}\) và \(a \in \left[ {4;{2^{10}}}
Cho \(a,\,\,b\) là hai số thực dương thỏa mãn \(2{b^2} = 7ab + 4{a^2}\) và \(a \in \left[ {4;{2^{10}}} \right]\). Gọi \(M,\,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\log _{\dfrac{b}{8}}}4a + \dfrac{3}{4}{\log _2}\dfrac{b}{4}\). Tính tổng \(T = M - m\)
Đáp án đúng là: C
Biểu diễn \(b\) theo \(a\)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
Ta có: \(2{b^2} = 7ab + 4{a^2} \Leftrightarrow 2{b^2} - 7ab - 4{a^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {b - 4a} \right)\left( {b + a} \right) = 0 \Leftrightarrow b = 4a\,\,\left( {do\,\,a,\,\,b > 0} \right)\)
Khi đó \(P = {\log _{\dfrac{b}{8}}}\left( b \right) + \dfrac{3}{4}{\log _2}\left( {\dfrac{b}{4}} \right) = \dfrac{{{{\log }_2}b}}{{{{\log }_2}\left( {\dfrac{b}{8}} \right)}} + \dfrac{3}{4}\left( {{{\log }_2}b - {{\log }_2}4} \right) = \dfrac{{{{\log }_2}b}}{{{{\log }_2}b - 3}} + \dfrac{3}{4}\left( {{{\log }_2}b - 2} \right)\)
Đặt \({\log _2}b = x\). Vì \(a \in \left[ {4;{2^{10}}} \right] \Rightarrow b \in \left[ {{2^4};{2^{12}}} \right] \Rightarrow x \in \left[ {4;12} \right]\)
Khi đó \(P = \dfrac{x}{{x - 3}} + \dfrac{3}{4}\left( {x - 2} \right) = \dfrac{x}{{x - 3}} + \dfrac{3}{4}x - \dfrac{3}{2}\)
Xét \(f\left( x \right) = \dfrac{x}{{x - 3}} + \dfrac{3}{4}x - \dfrac{3}{2},\,\,x \in \left[ {4;12} \right]\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} + \dfrac{3}{4}\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 2\\x - 3 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 1 \notin \left[ {4;12} \right]\end{array} \right.\end{array}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 4 \right) = \dfrac{{11}}{2}\\f\left( 5 \right) = \dfrac{{19}}{4}\\f\left( {12} \right) = \dfrac{{53}}{6}\end{array} \right.\)
Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {4;12} \right]} f\left( x \right) = \dfrac{{19}}{4},\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ {4;12} \right]} f\left( x \right) = \dfrac{{53}}{6}\)
Khi đó tổng \(T = M - m = \dfrac{{53}}{6} - \dfrac{{19}}{4} = \dfrac{{49}}{{12}}\)
Chọn C
Hỗ trợ - Hướng dẫn
![](/themes/images/call.png)
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com