Cho \(a,\,\,b\) là hai số thực dương thỏa mãn \(2{b^2} = 7ab + 4{a^2}\) và \(a \in \left[ {4;{2^{10}}}

Câu hỏi số 672298:

Vận dụng cao

Cho \(a,\,\,b\) là hai số thực dương thỏa mãn \(2{b^2} = 7ab + 4{a^2}\) và \(a \in \left[ {4;{2^{10}}} \right]\). Gọi \(M,\,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\log _{\dfrac{b}{8}}}4a + \dfrac{3}{4}{\log _2}\dfrac{b}{4}\). Tính tổng \(T = M - m\)

A. \(4\).

B. \(\dfrac{{44}}{{12}}\).

C. \(\dfrac{{49}}{{12}}\).

D. \(\dfrac{{46}}{{12}}\).

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

Biểu diễn \(b\) theo \(a\)

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

Giải chi tiết

Ta có: \(2{b^2} = 7ab + 4{a^2} \Leftrightarrow 2{b^2} - 7ab - 4{a^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {b - 4a} \right)\left( {b + a} \right) = 0 \Leftrightarrow b = 4a\,\,\left( {do\,\,a,\,\,b > 0} \right)\)

Khi đó \(P = {\log _{\dfrac{b}{8}}}\left( b \right) + \dfrac{3}{4}{\log _2}\left( {\dfrac{b}{4}} \right) = \dfrac{{{{\log }_2}b}}{{{{\log }_2}\left( {\dfrac{b}{8}} \right)}} + \dfrac{3}{4}\left( {{{\log }_2}b - {{\log }_2}4} \right) = \dfrac{{{{\log }_2}b}}{{{{\log }_2}b - 3}} + \dfrac{3}{4}\left( {{{\log }_2}b - 2} \right)\)

Đặt \({\log _2}b = x\). Vì \(a \in \left[ {4;{2^{10}}} \right] \Rightarrow b \in \left[ {{2^4};{2^{12}}} \right] \Rightarrow x \in \left[ {4;12} \right]\)

Khi đó \(P = \dfrac{x}{{x - 3}} + \dfrac{3}{4}\left( {x - 2} \right) = \dfrac{x}{{x - 3}} + \dfrac{3}{4}x - \dfrac{3}{2}\)

Xét \(f\left( x \right) = \dfrac{x}{{x - 3}} + \dfrac{3}{4}x - \dfrac{3}{2},\,\,x \in \left[ {4;12} \right]\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} + \dfrac{3}{4}\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 2\\x - 3 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 1 \notin \left[ {4;12} \right]\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 4 \right) = \dfrac{{11}}{2}\\f\left( 5 \right) = \dfrac{{19}}{4}\\f\left( {12} \right) = \dfrac{{53}}{6}\end{array} \right.\)

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {4;12} \right]} f\left( x \right) = \dfrac{{19}}{4},\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ {4;12} \right]} f\left( x \right) = \dfrac{{53}}{6}\)

Khi đó tổng \(T = M - m = \dfrac{{53}}{6} - \dfrac{{19}}{4} = \dfrac{{49}}{{12}}\)

Chọn C

Xem lời giải

Câu hỏi:672298

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.