1) Giải hệ phưong trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{2}{{x - 3}} - 3y = 1}\\{\dfrac{3}{{x - 3}} + 2y

Câu hỏi số 672340:

Thông hiểu

1) Giải hệ phưong trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{2}{{x - 3}} - 3y = 1}\\{\dfrac{3}{{x - 3}} + 2y = 8}\end{array}} \right.\).

2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {m + 2} \right)x - m\).

a) Chứng minh \(\left( {\rm{d}} \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điềm phân biệt.

b) Gọi \({x_1}\) và \({x_2}\) là hoành độ các giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\).

Tìm tất cả giá trị của \(m\) để \(\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} = \dfrac{1}{{{x_1} + {x_2} - 2}}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:672340

Phương pháp giải

1) Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ.

2) Xét phương trình giao điểm của (P) và (d)

a) Chứng minh \(\Delta > 0\) với \(\Delta = {b^2} - 4ac\)

b) Hệ thức Vi-ét \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)

Giải chi tiết

1) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{2}{{x - 3}} - 3y = 1}\\{\dfrac{3}{{x - 3}} + 2y = 8}\end{array}} \right.\)(\(x \ne 3\))

Đặt \(\dfrac{1}{{x - 3}} = v\), hệ phương trình trở thành:

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2v - 3y = 1}\\{3v + 2y = 8}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4v - 6y = 2}\\{9v + 6y = 24}\end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2v - 3y = 1}\\{13v = 26}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2v - 3y = 1}\\{v = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2.2 - 3y = 1}\\{v = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 1}\\{v = 2}\end{array}} \right.} \right.\,\end{array}\)

Trở lại phép đặt ta có: \(\dfrac{1}{{x - 3}} = 2 \Leftrightarrow x - 3 = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{7}{2}\left( {{\rm{tm}}} \right)\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{7}{2};1} \right)\).

2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {m + 2} \right)x - m\).

a) Hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) là nghiệm của phương trình:

\({x^2} = \left( {m + 2} \right)x - m \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 2} \right)x + m = 0\)

\({\rm{\Delta }} = {[ - \left( {m + 2} \right)]^2} - 4.1.m = {m^2} + 4m + 4 - 4m = {m^2} + 4 > 0\) với mọi \(m\).

=> Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Vậy \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điềm phân biệt \(\left( {{\rm{Apcm}}} \right)\).

b) Gọi \({x_1}\) và \({x_2}\) là hoành độ các giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\). Khi đó \({x_1};{x_2}\) là nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\).

Áp dụng định lí Vi - ét ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = m + 2}\\{{x_1}{x_2} = m}\end{array}} \right.\).

Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} \ne 0}\\{{x_2} \ne 0}\\{{x_1} + {x_2} - 2 \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1}{x_2} \ne 0}\\{{x_1} + {x_2} \ne 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ne 0}\\{m + 2 \ne 2}\end{array} \Leftrightarrow m \ne 0} \right.} \right.} \right.\)

Ta có \(\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} = \dfrac{1}{{{x_1} + {x_2} - 2}} \Leftrightarrow \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \dfrac{1}{{{x_1} + {x_2} - 2}}\)

Thay (2) vào (3) ta có:

\(\begin{array}{l}{\rm{(3)\;}} \Leftrightarrow \dfrac{{m + 2}}{m} = \dfrac{1}{{m + 2 - 2}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{m + 2}}{m} = \dfrac{1}{m}\\ \Rightarrow m + 2 = 1\\ \Leftrightarrow m = - 1\left( {TM} \right)\end{array}\)

Vậy với \(m = - 1\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link