Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn \((AB < AC)\), nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Tiếp

Câu hỏi số 672341:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn \((AB < AC)\), nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Tiếp tuyến tại điểm \(A\) của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt đường thẳng \(BC\) tại điểm \(S\). Gọi I là chân đường vuông góc kẻ tù điểm \(O\) đến đường thẳng \(BC\).

1) Chứng minh tứ giác SAOI là tứ giác nội tiếp.

2) Gọi \(H\) và \(D\) lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm \(A\) đến các đường thẳng \(SO\) và \(SC\). Chứng minh \(\angle OAH = \angle IAD\).

3) Vẽ đuờng cao \(CE\) của tam giác \(ABC\). Gọi \(Q\) là trung điểm của đọ̣n thẳng \(BE\). Đuờng thẳng \(QD\) cắt đường thẳng \(AH\) tại điểm \(K\). Chúng minh \(BQ.BA = BD.BI\) và đuờng thẳng \(CK\) song song với đường thẳng SO.

Chứng minh \(BQ.BA = BD.BI\).

Chứng minh đường thẳng \(CK\) song song với đường thẳng \(SO\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:672341

Phương pháp giải

1) Chứng minh tứ giác SAOI có tổng hai góc đối bằng \(180^\circ \)

2) Chứng minh

Sử dụng tính chất góc nội tiếp cùng chắn cung AO thì bằng nhau.

Sử dụng tính chất hai đường thẳng song song suy ra hai góc so le trong bằng nhau.

3) Chứng minh \(\Delta BAD \backsim \Delta BCE\left( {g - g} \right)\) suy ra cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.

Chứng minh tứ giác ADKC nội tiếp vì có hai đỉnh A và D kề nhau cùng nhìn dưới một góc bằng nhau. Suy ra \(\angle AKC = \angle \angle ADC = 90^\circ \)

Khi đó SO và CK cùng vuông góc với AK, sử dụng định lí từ vuông góc đến song song, suy ra đpcm.

Giải chi tiết

1) Do \({\rm{SA}}\) là tiếp tuyến của \(\left( {\rm{O}} \right)\)

\( \Rightarrow OA \bot SA\) (tính chất) hay \(\angle SAO = {90^ \circ }\).

Xét tứ giác SAOI có: \(\angle SAO + \angle SIO = {90^ \circ } + {90^ \circ } = {180^ \circ }\)

Mà 2 góc này ở vị trí đối diện

Suy ra tứ giác \({\rm{SAOI}}\) nội tiếp (dhnb) (đpcm)

2) Do vuông tại \({\rm{H}} \Rightarrow \angle OAH + \angle AOH = {90^ \circ }\)

Tương tự vuông tại A nên \(\angle ASO + \angle AOH = {90^ \circ }\)

\( \Rightarrow \angle OAH = \angle ASO\) (do cùng phụ với \(\angle AOH\) )

Do tứ giác \({\rm{SAOI}}\) nội tiếp (chứng minh trên) nên \(\angle ASO = \angle AIO\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \({\rm{AO}}\) )

\( \Rightarrow \angle OAH = \angle AIO\left( { = \angle ASO} \right)\)

Do \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{OI \bot BC\left( {gt} \right)}\\{AD \bot BC\left( {gt} \right)}\end{array} \Rightarrow OI\parallel AD} \right.\) (từ vuông góc đến song song).

\( \Rightarrow \angle AIO = \angle IAD\) (cặp góc so le trong)

3) Xét \(\Delta BAD\) và \(\Delta BCE\) có:

\(\angle ABC\) chung và \(\angle BDA = \angle BEC\left( { = {{90}^ \circ }} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta BAD \backsim \Delta BCE\left( {g - g} \right)\)\( \Rightarrow \dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{{BD}}{{BE}}{\rm{.}}\) (cặp cạnh tỉ lệ)

Mà \(BE = 2BQ\) (do \({\rm{Q}}\) là trung điểm của \({\rm{BE}}\) )

\(BC = 2BI\) (do \(OI \bot BC \Rightarrow {\rm{I}}\) là trung điểm \({\rm{BC}}\) ) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Nên từ \(BE.BA = BC.BD\)

\( \Leftrightarrow 2BQ.BA = 2BI.BD\)

\( \Leftrightarrow BQ.BA = BD.BI\) (đpcm).

Ta có \(\angle KAC = \angle KAO + \angle OAC\)

\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&{ = \angle KAO + \dfrac{{{{180}^ \circ } - \angle AOC}}{2}}\\{}&{\; = \angle KAO + \left( {{{90}^ \circ } - \dfrac{{\angle AOC}}{2}} \right)}\\{}&{\; = \angle KAO + \left( {{{90}^ \circ } - \angle ABC} \right)}\\{}&{\; = \angle KAO + \angle BAD}\end{array}\)

Và \(\angle BAI = \angle DAI + \angle BAD\).

Mà \(\angle OAH = \angle IAD \Rightarrow KAO = \angle DAI\) (chứng minh câu 2)

\( \Rightarrow \angle KAC = \angle BAI\)

Do \(BQ \cdot BA = BD \cdot BI \Rightarrow \dfrac{{BQ}}{{BI}} = \dfrac{{BD}}{{BA}}\) (theo câu 2).

Kết hợp với \(\angle ABI\) chung ta suy ra \(\Delta BDQ \backsim \Delta BAI\) (c.g.c)

\( \Rightarrow \angle BDQ = \angle BAI{\rm{\;}}\) (2) (hai góc tương ứng).

Lại có \(\angle KDC = \angle BDQ\) (đối đinh) (3)

Từ (1) (2) (3) suy ra \(\angle KDC = \angle KAC\left( { = \angle BDQ = \angle BAI} \right)\)

Mà \({\rm{D}},{\rm{A}}\) là 2 đỉnh kề nhau, cùng nhìn \({\rm{KC}}\) dưới 2 góc bằng nhau

Suy ra tứ giác \({\rm{ADKC}}\) nội tiếp (dhnb).

\( \Rightarrow \angle ADC = \angle AKC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \({\rm{AC}}\) )

Mà \(\angle ADC = {90^ \circ }\left( {AD \bot BC} \right) \Rightarrow \angle AKC = {90^ \circ }\) hay \(KC \bot AK\).

Lại có \(SO \bot AK\left( {{\rm{gt}}} \right) \Rightarrow KC\parallel SO\) (từ vuông góc đến song song) (đpcm)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link