Cho hai số thực dương a và b thoả mãn \(a + b \le 2\). Chứng minh: \(\dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + b}} +
Cho hai số thực dương a và b thoả mãn \(a + b \le 2\).
Chứng minh: \(\dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + b}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{b^2} + a}} \le 1\)
Sử dụng BĐT cộng mẫu số.
Ta có:
\(\dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + b}} = \dfrac{{{a^2} + b - b}}{{{a^2} + b}} = 1 - \dfrac{b}{{{a^2} + b}}\)
\(\dfrac{{{b^2}}}{{{b^2} + a}} = \dfrac{{{b^2} + a - a}}{{{b^2} + a}} = 1 - \dfrac{a}{{{b^2} + a}}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + b}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{b^2} + a}} = 1 - \dfrac{b}{{{a^2} + b}} + 1 - \dfrac{a}{{{b^2} + a}} = 2 - \left( {\dfrac{a}{{{b^2} + a}} + \dfrac{b}{{{a^2} + b}}} \right)\)
Ta lại có: \(\dfrac{a}{{{b^2} + a}} + \dfrac{b}{{{a^2} + b}} = \dfrac{{{a^2}}}{{a{b^2} + {a^2}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}b + {b^2}}}\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \ge \dfrac{{{{(a + b)}^2}}}{{a{b^2} + {a^2} + {a^2}b + {b^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{{(a + b)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right) + {a^2} + {b^2}}}\end{array}\) (BĐT cộng mẫu)
Theo giả thiết có:
\(a + b \le 2 \Rightarrow \dfrac{{{{(a + b)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right) + {a^2} + {b^2}}} \ge \dfrac{{{{(a + b)}^2}}}{{2ab + {a^2} + {b^2}}} = \dfrac{{{{(a + b)}^2}}}{{{{(a + b)}^2}}} = 1\).
Từ đó ta có được: .
Dấu "=" xảy ra khi \(a = b = 1\).
Hỗ trợ - Hướng dẫn
![](/themes/images/call.png)
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com