Cho hai số thực dương a và b thoả mãn \(a + b \le 2\). Chứng minh: \(\dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + b}} +

Câu hỏi số 672342:

Vận dụng cao

Cho hai số thực dương a và b thoả mãn \(a + b \le 2\).

Chứng minh: \(\dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + b}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{b^2} + a}} \le 1\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:672342

Phương pháp giải

Sử dụng BĐT cộng mẫu số.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + b}} = \dfrac{{{a^2} + b - b}}{{{a^2} + b}} = 1 - \dfrac{b}{{{a^2} + b}}\)

\(\dfrac{{{b^2}}}{{{b^2} + a}} = \dfrac{{{b^2} + a - a}}{{{b^2} + a}} = 1 - \dfrac{a}{{{b^2} + a}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + b}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{b^2} + a}} = 1 - \dfrac{b}{{{a^2} + b}} + 1 - \dfrac{a}{{{b^2} + a}} = 2 - \left( {\dfrac{a}{{{b^2} + a}} + \dfrac{b}{{{a^2} + b}}} \right)\)

Ta lại có: \(\dfrac{a}{{{b^2} + a}} + \dfrac{b}{{{a^2} + b}} = \dfrac{{{a^2}}}{{a{b^2} + {a^2}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}b + {b^2}}}\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \ge \dfrac{{{{(a + b)}^2}}}{{a{b^2} + {a^2} + {a^2}b + {b^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{{(a + b)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right) + {a^2} + {b^2}}}\end{array}\) (BĐT cộng mẫu)

Theo giả thiết có:

\(a + b \le 2 \Rightarrow \dfrac{{{{(a + b)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right) + {a^2} + {b^2}}} \ge \dfrac{{{{(a + b)}^2}}}{{2ab + {a^2} + {b^2}}} = \dfrac{{{{(a + b)}^2}}}{{{{(a + b)}^2}}} = 1\).

Từ đó ta có được: .

Dấu "=" xảy ra khi \(a = b = 1\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link