Cho hai số thực dương a và b thoả mãn \(a + b \le 2\). Chứng minh: \(\dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + b}} +

Câu hỏi số 672342:

Vận dụng cao

Cho hai số thực dương a và b thoả mãn \(a + b \le 2\).

Chứng minh: \(\dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + b}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{b^2} + a}} \le 1\)

Câu trả lời của bạn

Phương pháp giải

Sử dụng BĐT cộng mẫu số.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + b}} = \dfrac{{{a^2} + b - b}}{{{a^2} + b}} = 1 - \dfrac{b}{{{a^2} + b}}\)

\(\dfrac{{{b^2}}}{{{b^2} + a}} = \dfrac{{{b^2} + a - a}}{{{b^2} + a}} = 1 - \dfrac{a}{{{b^2} + a}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + b}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{b^2} + a}} = 1 - \dfrac{b}{{{a^2} + b}} + 1 - \dfrac{a}{{{b^2} + a}} = 2 - \left( {\dfrac{a}{{{b^2} + a}} + \dfrac{b}{{{a^2} + b}}} \right)\)

Ta lại có: \(\dfrac{a}{{{b^2} + a}} + \dfrac{b}{{{a^2} + b}} = \dfrac{{{a^2}}}{{a{b^2} + {a^2}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}b + {b^2}}}\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \ge \dfrac{{{{(a + b)}^2}}}{{a{b^2} + {a^2} + {a^2}b + {b^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{{(a + b)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right) + {a^2} + {b^2}}}\end{array}\) (BĐT cộng mẫu)

Theo giả thiết có:

\(a + b \le 2 \Rightarrow \dfrac{{{{(a + b)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right) + {a^2} + {b^2}}} \ge \dfrac{{{{(a + b)}^2}}}{{2ab + {a^2} + {b^2}}} = \dfrac{{{{(a + b)}^2}}}{{{{(a + b)}^2}}} = 1\).

Từ đó ta có được: .

Dấu "=" xảy ra khi \(a = b = 1\).

Xem lời giải

Câu hỏi:672342

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.