Cho hàm số $f\left( x \right) = \left( {2m - 1} \right){x^3} - \left( {m + 2} \right)x + 4$ với $m$

Câu hỏi số 672427:

Vận dụng

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left( {2m - 1} \right){x^3} - \left( {m + 2} \right)x + 4$ với $m$ là tham số thực. Nếu $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;0} \right]} f(x) = f\left( { - 1} \right)$ thì $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;0} \right]} f(x)$ bằng

A. $\dfrac{{ - 4}}{3}$.

B. $2$ .

C. $4$.

D. $ - 2$ .

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:672427

Phương pháp giải

Vì $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;0} \right]} f(x) = f\left( { - 1} \right)$ suy ra $x = - 1$ là nghiệm của $f'\left( x \right) = 0$ từ đó tìm m

Giải chi tiết

Ta có:

$f'\left( x \right) = 3\left( {2m - 1} \right){x^2} - m - 2$

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{m + 2}}{{6m - 3}}\left( {m \ne \dfrac{1}{2}} \right)$

Vì $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;0} \right]} f(x) = f\left( { - 1} \right)$ suy ra $x = - 1$ là nghiệm của $f'\left( x \right) = 0$

$ \Rightarrow \dfrac{{m + 2}}{{6m - 3}} = 1 \Rightarrow m + 2 = 6m - 3 \Rightarrow m = 1$

Thử lại với $m = 1$, ta có hàm số $f(x) = x^3 - 3x + 4$.

Đạo hàm: $f'(x) = 3x^2 - 3$.

Xét $f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \notin [-2; 0] \\ x = -1 \in [-2; 0] \end{array} \right.$

Tính các giá trị của hàm số tại các mút và điểm cực trị trên đoạn $[-2; 0]$:

$f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 4 = 2$

$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 4 = 6$

$f(0) = 0^3 - 3(0) + 4 = 4$

So sánh các giá trị trên, ta thấy $\max_{[-2; 0]} f(x) = 6 = f(-1)$.

Vậy $m = 1$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-2; 0]$ là $\min_{[-2; 0]} f(x) = f(-2) = 2$.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.