Phương trình \({4^x} - 2\left( {m + 1} \right){.2^x} + 3m - 8 = 0\) có hai nghiệm trái dấu khi \(m \in \left(

Câu hỏi số 672429:

Vận dụng

Phương trình \({4^x} - 2\left( {m + 1} \right){.2^x} + 3m - 8 = 0\) có hai nghiệm trái dấu khi \(m \in \left( {a;b} \right)\). Giá trị của \(P = b - a\) là

A. \(P = \dfrac{8}{3}\).

B. \(P = \dfrac{{19}}{3}\).

C. \(P = \dfrac{{15}}{3}\).

D. \(P = \dfrac{{35}}{3}\).

Đáp án đúng là: B

Phương pháp giải

Đặt \(t = {2^x}\), ta có phương trình \({t^2} - 2\left( {m + 1} \right)t + 3m - 8 = 0\,\,\left( 1 \right)\).

Với \({x_1} < 0 < {x_2}\) thì \(0 < {2^{{x_1}}} < 1 < {2^{{x_2}}}\), nên phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu \({x_1}\), \({x_2}\) khi và chỉ khi phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm \(0 < {t_1} < 1 < {t_2}\).

Cô lập m tìm m thỏa mãn điều kiện nghiệm t

Giải chi tiết

Đặt \(t = {2^x}\), ta có phương trình \({t^2} - 2\left( {m + 1} \right)t + 3m - 8 = 0\,\,\left( 1 \right)\).

Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} - 2t - 8 = m\left( {2t - 3} \right)\,\,\left( 2 \right)\).

Vì \(t = \dfrac{3}{2}\) không là nghiệm phương trình \(\left( 2 \right)\) nên: \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{{t^2} - 2t - 8}}{{2t - 3}} = m\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} - 2t - 8}}{{2t - 3}}\), với \(0 < t \ne \dfrac{3}{2}\).

Ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{{2{t^2} - 6t + 22}}{{{{\left( {2t - 3} \right)}^2}}} > 0\) với \(0 < t \ne \dfrac{3}{2}\).

Bảng biến thiên:

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm \(0 < {t_1} < 1 < {t_2}\) khi và chỉ khi phương trình \(\left( 3 \right)\) có hai nghiệm \(0 < {t_1} < 1 < {t_2}\). Từ bảng biến thiên ta suy ra giá trị cần tìm của \(m\) là \(\dfrac{8}{3} < m < 9\).

Như vậy \(a = \dfrac{8}{3}\), \(b = 9\). Do đó \(P = b - a = 9 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{{19}}{3}\).

Xem lời giải

Câu hỏi:672429

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.