Có bao nhiêu số nguyên dương \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\) có đúng ba số nguyên \(b\) thỏa mãn \(\left( {{2^b} - 2} \right)\left( {a \cdot {3^b} - 20} \right) < 0?\)

Câu 672430: Có bao nhiêu số nguyên dương \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\) có đúng ba số nguyên \(b\) thỏa mãn \(\left( {{2^b} - 2} \right)\left( {a \cdot {3^b} - 20} \right) < 0?\)

A. \(359\).

B. \(360\).

C. \(361\).

D. \(362\).

Câu hỏi : 672430

Phương pháp giải:

Giải bất phương trình đưa về 2 trường hợp.

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
TH1:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^b} - 2 > 0}\\{a{{.3}^b} - 20 < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^b} > 2}\\{{3^b} < \dfrac{{20}}{a}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b > 1}\\{b < {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {\dfrac{{20}}{a}} \right)}\end{array} \Leftrightarrow 1 < b < } \right.} \right.} \right.{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {\dfrac{{20}}{a}} \right)\)

Để có đúng ba số nguyên \(b\) thì \(4 < {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {\dfrac{{20}}{a}} \right) \le 5 \Leftrightarrow 81 < \dfrac{{20}}{a} \le 243 \Leftrightarrow \dfrac{{20}}{{243}} \le a < \dfrac{{20}}{{81}}\).

Trường hợp này không có số nguyên \(a\) thỏa mãn.

TH2: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^b} - 2 < 0}\\{a{{.3}^b} - 20 > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^b} < 2}\\{{3^b} > \dfrac{{20}}{a}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b < 1}\\{b > {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {\dfrac{{20}}{a}} \right)}\end{array} \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {\dfrac{{20}}{a}} \right) < b < 1} \right.} \right.} \right.\)

Để có đúng ba số nguyên \(b\) thì \( - 3 \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {\dfrac{{20}}{a}} \right) < - 2 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{27}} \le \dfrac{{20}}{a} < \dfrac{1}{9} \Leftrightarrow 180 < a \le 540 \Rightarrow 181 \le a \le 540\).

Trường hợp này có \(540 - 181 + 1 = 360\) giá trị \(a\) nguyên thỏa mãn.

Vậy sổ giá trị nguyên của \(a\) là: \(360\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.