Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng \(2a\), bán kính đáy bằng \(3a\). Một thiết diện đi qua

Câu hỏi số 672432:

Vận dụng

Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng \(2a\), bán kính đáy bằng \(3a\). Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện bằng \(\dfrac{{3a}}{2}\). Diện tích của thiết diện đó bằng

A. \(\dfrac{{2{a^2}\sqrt 3 }}{7}\).

B. \(12{a^2}\sqrt 3 \).

C. \(\dfrac{{12{a^2}}}{7}\).

D. \(\dfrac{{24{a^2}\sqrt 3 }}{7}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:672432

Phương pháp giải

+ Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\).

Trong tam giác \(SOI\), kẻ \(OH \bot SI\), \(H \in SI\) \( \Rightarrow d\left( {O\,,\,\left( {SAB} \right)} \right) = OH = \dfrac{{3a}}{2}\)

Tính OI, SI, AI, AB từ đó tìm diện tích thiết diện.

Giải chi tiết

Xét hình nón đỉnh \(S\) có chiều cao \(SO = 2a\), bán kính đáy \(OA = 3a\).

Thiết diện đi qua đỉnh của hình nón là tam giác \(SAB\) cân tại \(S\).

+ Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\).

Trong tam giác \(SOI\), kẻ \(OH \bot SI\), \(H \in SI\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OI\\AB \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SOI} \right) \Rightarrow AB \bot OH\).

+\(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot SI\\OH \bot AB\end{array} \right.\)\( \Rightarrow OH \bot \left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow d\left( {O\,,\,\left( {SAB} \right)} \right) = OH = \dfrac{{3a}}{2}\).

Xét tam giác \(SOI\)vuông tại \(O\), ta có

\(\dfrac{1}{{O{I^2}}} = \dfrac{1}{{O{H^2}}} - \dfrac{1}{{S{O^2}}}\)\( = \dfrac{4}{{9{a^2}}} - \dfrac{1}{{4{a^2}}} = \dfrac{7}{{36{a^2}}} \Rightarrow OI = \dfrac{{6a}}{{\sqrt 7 }}\).

\(SI = \sqrt {S{O^2} + O{I^2}} = \sqrt {4{a^2} + \dfrac{{36{a^2}}}{7}} = \dfrac{{8a}}{{\sqrt 7 }}\).

Xét tam giác \(AOI\)vuông tại \(I\), \(AI = \sqrt {A{O^2} - O{I^2}} = \sqrt {9{a^2} - \dfrac{{36{a^2}}}{7}} = \dfrac{{3\sqrt 3 a}}{{\sqrt 7 }}\)

\( \Rightarrow AB = 2AI = \dfrac{{6\sqrt 3 a}}{{\sqrt 7 }}\).

Vậy diện tích của thiết diện là: \({S_{\Delta SAB}} = \dfrac{1}{2}.SI.AB = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{8a}}{{\sqrt 7 }}.\dfrac{{6\sqrt 3 a}}{{\sqrt 7 }} = \dfrac{{24{a^2}\sqrt 3 }}{7}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.