Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng \(2a\), bán kính đáy bằng \(3a\). Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện bằng \(\dfrac{{3a}}{2}\). Diện tích của thiết diện đó bằng

Câu 672432: Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng \(2a\), bán kính đáy bằng \(3a\). Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện bằng \(\dfrac{{3a}}{2}\). Diện tích của thiết diện đó bằng

A. \(\dfrac{{2{a^2}\sqrt 3 }}{7}\).

B. \(12{a^2}\sqrt 3 \).

C. \(\dfrac{{12{a^2}}}{7}\).

D. \(\dfrac{{24{a^2}\sqrt 3 }}{7}\).

Câu hỏi : 672432

Phương pháp giải:

+ Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\).

Trong tam giác \(SOI\), kẻ \(OH \bot SI\), \(H \in SI\) \( \Rightarrow d\left( {O\,,\,\left( {SAB} \right)} \right) = OH = \dfrac{{3a}}{2}\)

Tính OI, SI, AI, AB từ đó tìm diện tích thiết diện.

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Xét hình nón đỉnh \(S\) có chiều cao \(SO = 2a\), bán kính đáy \(OA = 3a\).
Thiết diện đi qua đỉnh của hình nón là tam giác \(SAB\) cân tại \(S\).
+ Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\).
Trong tam giác \(SOI\), kẻ \(OH \bot SI\), \(H \in SI\).
+ \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OI\\AB \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SOI} \right) \Rightarrow AB \bot OH\).
+\(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot SI\\OH \bot AB\end{array} \right.\)\( \Rightarrow OH \bot \left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow d\left( {O\,,\,\left( {SAB} \right)} \right) = OH = \dfrac{{3a}}{2}\).
Xét tam giác \(SOI\)vuông tại \(O\), ta có
\(\dfrac{1}{{O{I^2}}} = \dfrac{1}{{O{H^2}}} - \dfrac{1}{{S{O^2}}}\)\( = \dfrac{4}{{9{a^2}}} - \dfrac{1}{{4{a^2}}} = \dfrac{7}{{36{a^2}}} \Rightarrow OI = \dfrac{{6a}}{{\sqrt 7 }}\).
\(SI = \sqrt {S{O^2} + O{I^2}} = \sqrt {4{a^2} + \dfrac{{36{a^2}}}{7}} = \dfrac{{8a}}{{\sqrt 7 }}\).
Xét tam giác \(AOI\)vuông tại \(I\), \(AI = \sqrt {A{O^2} - O{I^2}} = \sqrt {9{a^2} - \dfrac{{36{a^2}}}{7}} = \dfrac{{3\sqrt 3 a}}{{\sqrt 7 }}\)
\( \Rightarrow AB = 2AI = \dfrac{{6\sqrt 3 a}}{{\sqrt 7 }}\).
Vậy diện tích của thiết diện là: \({S_{\Delta SAB}} = \dfrac{1}{2}.SI.AB = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{8a}}{{\sqrt 7 }}.\dfrac{{6\sqrt 3 a}}{{\sqrt 7 }} = \dfrac{{24{a^2}\sqrt 3 }}{7}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.