Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng \(2a\), bán kính đáy bằng \(3a\). Một thiết diện đi qua
Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng \(2a\), bán kính đáy bằng \(3a\). Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện bằng \(\dfrac{{3a}}{2}\). Diện tích của thiết diện đó bằng
Đáp án đúng là: D
+ Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\).
Trong tam giác \(SOI\), kẻ \(OH \bot SI\), \(H \in SI\) \( \Rightarrow d\left( {O\,,\,\left( {SAB} \right)} \right) = OH = \dfrac{{3a}}{2}\)
Tính OI, SI, AI, AB từ đó tìm diện tích thiết diện.
Xét hình nón đỉnh \(S\) có chiều cao \(SO = 2a\), bán kính đáy \(OA = 3a\).
Thiết diện đi qua đỉnh của hình nón là tam giác \(SAB\) cân tại \(S\).
+ Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\).
Trong tam giác \(SOI\), kẻ \(OH \bot SI\), \(H \in SI\).
+ \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OI\\AB \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SOI} \right) \Rightarrow AB \bot OH\).
+\(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot SI\\OH \bot AB\end{array} \right.\)\( \Rightarrow OH \bot \left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow d\left( {O\,,\,\left( {SAB} \right)} \right) = OH = \dfrac{{3a}}{2}\).
Xét tam giác \(SOI\)vuông tại \(O\), ta có
\(\dfrac{1}{{O{I^2}}} = \dfrac{1}{{O{H^2}}} - \dfrac{1}{{S{O^2}}}\)\( = \dfrac{4}{{9{a^2}}} - \dfrac{1}{{4{a^2}}} = \dfrac{7}{{36{a^2}}} \Rightarrow OI = \dfrac{{6a}}{{\sqrt 7 }}\).
\(SI = \sqrt {S{O^2} + O{I^2}} = \sqrt {4{a^2} + \dfrac{{36{a^2}}}{7}} = \dfrac{{8a}}{{\sqrt 7 }}\).
Xét tam giác \(AOI\)vuông tại \(I\), \(AI = \sqrt {A{O^2} - O{I^2}} = \sqrt {9{a^2} - \dfrac{{36{a^2}}}{7}} = \dfrac{{3\sqrt 3 a}}{{\sqrt 7 }}\)
\( \Rightarrow AB = 2AI = \dfrac{{6\sqrt 3 a}}{{\sqrt 7 }}\).
Vậy diện tích của thiết diện là: \({S_{\Delta SAB}} = \dfrac{1}{2}.SI.AB = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{8a}}{{\sqrt 7 }}.\dfrac{{6\sqrt 3 a}}{{\sqrt 7 }} = \dfrac{{24{a^2}\sqrt 3 }}{7}\).
Hỗ trợ - Hướng dẫn
![](/themes/images/call.png)
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com