Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với

Câu hỏi số 672435:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\)và \(SA = a\sqrt 2 \). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \(SB\) và \(DM\).

A. \(\dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

B. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

C. \(\dfrac{{2a\sqrt 7 }}{7}\).

D. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

Gọi N là trung điểm của AD. Khi đó \(d\left( {DM\,,\,SB} \right) = d\left( {DM\,,\,\left( {SBN} \right)} \right) = d\left( {M\,,\,\left( {SBN} \right)} \right)\)

Giải chi tiết

Gọi \(N\) là trung điểm của cạnh \(AD\). Ta có \(DM\parallel \,BN \Rightarrow DM\parallel \left( {SBN} \right)\).

Do đó \(d\left( {DM\,,\,SB} \right) = d\left( {DM\,,\,\left( {SBN} \right)} \right) = d\left( {M\,,\,\left( {SBN} \right)} \right)\).

Gọi \(I\) là giao điểm của \(BN\) và \(AM\). Khi đó \(I\) là trung điểm của \(AM\).

Suy ra \(d\left( {M\,,\,\left( {SBN} \right)} \right) = d\left( {A\,,\,\left( {SBN} \right)} \right)\).

Kẻ \(AK \bot BN\) và kẻ \(AH \bot SK\).

Khi đó \(d\left( {A\,,\,\left( {SBN} \right)} \right) = AH\).

Ta có \(\dfrac{1}{{A{K^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{B{N^2}}} = \dfrac{5}{{4{a^2}}}\).

Suy ra \(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{K^2}}} + \dfrac{1}{{S{A^2}}} = \dfrac{7}{{4{a^2}}} \Rightarrow AH = \dfrac{{2a\sqrt 7 }}{7}\).

Vậy \(d\left( {DM\,,\,SB} \right) = \dfrac{{2a\sqrt 7 }}{7}\).

Xem lời giải

Câu hỏi:672435

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.