Xét tất cả các số thực \(x,y\) sao cho \({a^{4x - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt 3 }}a}} \le {9^{68 - {y^2}}}\) với mọi số thực dương \(a\). Khi biểu thức \(P = 2{x^2} + 2{y^2} + x - 4y\) đạt giá trị lớn nhất thì \(2x + y\) bằng

Câu 672436: Xét tất cả các số thực \(x,y\) sao cho \({a^{4x - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt 3 }}a}} \le {9^{68 - {y^2}}}\) với mọi số thực dương \(a\). Khi biểu thức \(P = 2{x^2} + 2{y^2} + x - 4y\) đạt giá trị lớn nhất thì \(2x + y\) bằng

A. \( - 4\).

B. \( - 14\) .

C. \(12\) .

D. \(4\) .

Câu hỏi : 672436

Phương pháp giải:

Lấy logarit 2 vế của \({a^{4x - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt 3 }}a}} \le {9^{68 - {y^2}}}\) đưa về phương trình bậc hai ẩn \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}a\)

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có \({a^{4x - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt 3 }}a}} \le {9^{68 - {y^2}}} \Leftrightarrow {a^{4x - 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}a}} \le {9^{68 - {y^2}}}\)
\( \Leftrightarrow \left( {4x - 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}a} \right){\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}a \le 2\left( {68 - {y^2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow {\rm{log}}_3^2a - 2x{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}a + 68 - {y^2} \ge 0{\rm{ }}\forall a{\rm{ }}\left( * \right)\)
Coi (*) là bất phương trình bậc hai ẩn \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}a\)
Để \(\left( {\rm{*}} \right)\) đúng với mọi số thực dương \(a\) thì
\(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{\Delta '}} \le 0\\a = 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} - \left( {68 - {y^2}} \right) \le 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 68 \le 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \le 68\)
Ta có \({\left( {x - 4y} \right)^2} \le \left[ {{1^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} \right]\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 17.68\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x - 4y} \right)^2} \le {34^2} \Leftrightarrow - 34 \le x - 4y \le 34\)
Suy ra \(P = 2{x^2} + 2{y^2} + x - 4y \le 2.68 + 34 = 170\)
Vậy \({P_{\max }} = 170 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{{ - 4}}\\x - 4y = 34\\{x^2} + {y^2} = 68\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 8\end{array} \right. \Rightarrow 2x + y = 4 - 8 = - 4\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.