Xét tất cả các số thực \(x,y\) sao cho \({a^{4x - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt 3 }}a}} \le {9^{68 - {y^2}}}\)

Câu hỏi số 672436:

Vận dụng cao

Xét tất cả các số thực \(x,y\) sao cho \({a^{4x - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt 3 }}a}} \le {9^{68 - {y^2}}}\) với mọi số thực dương \(a\). Khi biểu thức \(P = 2{x^2} + 2{y^2} + x - 4y\) đạt giá trị lớn nhất thì \(2x + y\) bằng

A. \( - 4\).

B. \( - 14\) .

C. \(12\) .

D. \(4\) .

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:672436

Phương pháp giải

Lấy logarit 2 vế của \({a^{4x - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt 3 }}a}} \le {9^{68 - {y^2}}}\) đưa về phương trình bậc hai ẩn \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}a\)

Giải chi tiết

Ta có \({a^{4x - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt 3 }}a}} \le {9^{68 - {y^2}}} \Leftrightarrow {a^{4x - 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}a}} \le {9^{68 - {y^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \left( {4x - 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}a} \right){\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}a \le 2\left( {68 - {y^2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\rm{log}}_3^2a - 2x{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}a + 68 - {y^2} \ge 0{\rm{ }}\forall a{\rm{ }}\left( * \right)\)

Coi (*) là bất phương trình bậc hai ẩn \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}a\)

Để \(\left( {\rm{*}} \right)\) đúng với mọi số thực dương \(a\) thì

\(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{\Delta '}} \le 0\\a = 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} - \left( {68 - {y^2}} \right) \le 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 68 \le 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \le 68\)

Ta có \({\left( {x - 4y} \right)^2} \le \left[ {{1^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} \right]\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 17.68\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 4y} \right)^2} \le {34^2} \Leftrightarrow - 34 \le x - 4y \le 34\)

Suy ra \(P = 2{x^2} + 2{y^2} + x - 4y \le 2.68 + 34 = 170\)

Vậy \({P_{\max }} = 170 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{{ - 4}}\\x - 4y = 34\\{x^2} + {y^2} = 68\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 8\end{array} \right. \Rightarrow 2x + y = 4 - 8 = - 4\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.