Trong không gian với hệ tọa độ \({\rm{Ox}}yz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x

Câu hỏi số 672437:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ \({\rm{Ox}}yz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 3 = 0\) và hai điểm \(A\left( {3;5;0} \right),B\left( {0; - 1;0} \right)\). Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) di động trên \(\left( S \right)\). Khi biểu thức \(MA + 2MB\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(2a + b + c\) bằng

A. \(7\).

B. \( - 7\) .

C. \( - 5\) .

D. \(8\) .

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải

Tính \(MA + 2MB\) theo a, b, c và đánh giá tìm GTNN

Giải chi tiết

Vì \(M\left( {a;b;c} \right) \in \left( S \right) \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 2a - 2b - 3 = 0\)

Ta có

\(\begin{array}{l}MA + 2MB = \sqrt {{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 5} \right)}^2} + {c^2}} + 2\sqrt {{a^2} + {{\left( {b + 1} \right)}^2} + {c^2}} \\ = \sqrt {{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 5} \right)}^2} + {c^2} + 3.0} + 2\sqrt {{a^2} + {{\left( {b + 1} \right)}^2} + {c^2}} \\ = \sqrt {{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 5} \right)}^2} + {c^2} + 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - 2a - 2b - 3} \right)} + 2\sqrt {{a^2} + {{\left( {b + 1} \right)}^2} + {c^2}} \\ = \sqrt {4{a^2} + 4{b^2} + 4{c^2} - 12a - 16b + 25} + 2\sqrt {{a^2} + {{\left( {b + 1} \right)}^2} + {c^2}} \\ = 2\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - 3a - 4b + \dfrac{{25}}{4}} + 2\sqrt {{a^2} + {{\left( {b + 1} \right)}^2} + {c^2}} \\ = 2\left[ {\sqrt {{{\left( {\dfrac{3}{2} - a} \right)}^2} + {{\left( {2 - b} \right)}^2} + {{\left( { - c} \right)}^2}} + \sqrt {{a^2} + {{\left( {b + 1} \right)}^2} + {c^2}} } \right]\\ \ge 2\left[ {\sqrt {{{\left( {\dfrac{3}{2} - a + a} \right)}^2} + {{\left( {2 - b + b + 1} \right)}^2} + {{\left( { - c + c} \right)}^2}} } \right] \ge 3\sqrt 5 \end{array}\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(MA + 2MB\) bằng \(3\sqrt 5 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\dfrac{3}{2} - a}}{a} = \dfrac{{2 - b}}{{b + 1}}\\c = 0\\{a^2} + {b^2} + {c^2} - 2a - 2b - 3 = 0\\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\\c = 0\end{array} \right. \Rightarrow 2a + b + c = 4 + 3 + 0 = 7\)

Xem lời giải

Câu hỏi:672437

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.