Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) và

Câu hỏi số 672438:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(\left[ {x.f'\left( x \right) - 2f\left( x \right)} \right]\ln x = 2{x^4} - f\left( x \right)\) và \(f\left( e \right) = {e^4} + 2{e^2}\). Giá trị \(f\left( 2 \right)\) thuộc khoảng nào sau đây?

A. \(\left( {31;\dfrac{{65}}{2}} \right)\) .

B. \(\left( {33;35} \right)\).

C. \(\left( {28;31} \right)\) .

D. \(\left( {\dfrac{{71}}{2};37} \right)\) .

Đáp án đúng là: B

Phương pháp giải

Đưa \(\left[ {x.f'\left( x \right) - 2f\left( x \right)} \right]\ln x = 2{x^4} - f\left( x \right)\) về \({\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}} \right)^\prime }.\ln x = 2x - \dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^3}}}\) và lấy nguyên hàm 2 vế tìm \(f\left( x \right)\)

Giải chi tiết

Vì \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left[ {x.f'\left( x \right) - 2f\left( x \right)} \right]\ln x = 2{x^4} - f\left( x \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{x.f'\left( x \right) - 2f\left( x \right)}}{{{x^3}}}.\ln x = 2x - \dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^3}}}\\ \Rightarrow \dfrac{{f'\left( x \right).{x^2} - 2x.f\left( x \right)}}{{{x^4}}}.\ln x = 2x - \dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^3}}}\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}} \right)^\prime }.\ln x = 2x - \dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^3}}}\end{array}\)

\(\int {\left[ {{{\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}} \right)}^\prime }.\ln x} \right]} dx = \int {\left[ {2x - \dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^3}}}} \right]} dx\)

Đặt \(u = \ln x \Rightarrow du = \dfrac{1}{x}dx,dv = {\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}} \right)^\prime }\)

\( \Rightarrow v = \int {{{\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}} \right)}^\prime }dx \Rightarrow v = \dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}} \)

Suy ra \(\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}.\ln x - \int {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^3}}}} dx = {x^2} - \int {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^3}}}} dx\)

\( \Rightarrow \dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}.\ln x = {x^2} + C \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{{x^4} + C{x^2}}}{{\ln x}}\)

Vì \(f\left( e \right) = {e^4} + 2{e^2} \Rightarrow \dfrac{{{e^4} + C{e^2}}}{{\ln e}} = {e^4} + 2{e^2}\)

\( \Rightarrow C{e^2} = 2{e^2} \Rightarrow C = 2\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = {\dfrac{{{x^4} + 2x}}{{\ln x}}^2} \Rightarrow f\left( 2 \right) = \dfrac{{24}}{{\ln 2}}\)

\( \Rightarrow f\left( 2 \right) \in \left( {33;35} \right)\)

Xem lời giải

Câu hỏi:672438

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.