Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) và
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(\left[ {x.f'\left( x \right) - 2f\left( x \right)} \right]\ln x = 2{x^4} - f\left( x \right)\) và \(f\left( e \right) = {e^4} + 2{e^2}\). Giá trị \(f\left( 2 \right)\) thuộc khoảng nào sau đây?
Đáp án đúng là: B
Đưa \(\left[ {x.f'\left( x \right) - 2f\left( x \right)} \right]\ln x = 2{x^4} - f\left( x \right)\) về \({\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}} \right)^\prime }.\ln x = 2x - \dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^3}}}\) và lấy nguyên hàm 2 vế tìm \(f\left( x \right)\)
Vì \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left[ {x.f'\left( x \right) - 2f\left( x \right)} \right]\ln x = 2{x^4} - f\left( x \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{x.f'\left( x \right) - 2f\left( x \right)}}{{{x^3}}}.\ln x = 2x - \dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^3}}}\\ \Rightarrow \dfrac{{f'\left( x \right).{x^2} - 2x.f\left( x \right)}}{{{x^4}}}.\ln x = 2x - \dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^3}}}\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}} \right)^\prime }.\ln x = 2x - \dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^3}}}\end{array}\)
\(\int {\left[ {{{\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}} \right)}^\prime }.\ln x} \right]} dx = \int {\left[ {2x - \dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^3}}}} \right]} dx\)
Đặt \(u = \ln x \Rightarrow du = \dfrac{1}{x}dx,dv = {\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}} \right)^\prime }\)
\( \Rightarrow v = \int {{{\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}} \right)}^\prime }dx \Rightarrow v = \dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}} \)
Suy ra \(\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}.\ln x - \int {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^3}}}} dx = {x^2} - \int {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^3}}}} dx\)
\( \Rightarrow \dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}.\ln x = {x^2} + C \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{{x^4} + C{x^2}}}{{\ln x}}\)
Vì \(f\left( e \right) = {e^4} + 2{e^2} \Rightarrow \dfrac{{{e^4} + C{e^2}}}{{\ln e}} = {e^4} + 2{e^2}\)
\( \Rightarrow C{e^2} = 2{e^2} \Rightarrow C = 2\)
\( \Rightarrow f\left( x \right) = {\dfrac{{{x^4} + 2x}}{{\ln x}}^2} \Rightarrow f\left( 2 \right) = \dfrac{{24}}{{\ln 2}}\)
\( \Rightarrow f\left( 2 \right) \in \left( {33;35} \right)\)
Hỗ trợ - Hướng dẫn
![](/themes/images/call.png)
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com