Cho phương trình: \({x^2} + 2mx + {m^2} + m - 2 = 0\) (1) (m là tham số). Tìm \(m\) để phuơng trình (1) có

Câu hỏi số 672494:

Vận dụng

Cho phương trình: \({x^2} + 2mx + {m^2} + m - 2 = 0\) (1) (m là tham số). Tìm \(m\) để phuơng trình (1) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) sao cho biểu thức \(P\) đạt giá trị lớn nhất với \(P = - x_1^2 + \left( {2m + 3} \right){x_2} + 3{x_1} + {x_1}{x_2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:672494

Phương pháp giải

Công thức Công thức \(\Delta ' = {(b')^2} - ac\) với \(b' = \dfrac{b}{2}\)

Phương trình có hai nghiệm khi \(\Delta \ge 0\)

Hệ thức Vi-ét \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)

Giải chi tiết

Ta có: \({\rm{\Delta '}} = {m^2} - 1 \cdot \left( {{m^2} + m - 2} \right) = {m^2} - {m^2} - m + 2 = - m + 2\).

Để phương trình (I) có hai nghiệm thì \({\rm{\Delta '}} \ge 0\) hay \( - m + 2 \ge 0 \Leftrightarrow m \le 2\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = - x_1^2 + (2m + 3){x_2} + 3{x_1} + {x_1}{x_2}\\P = - x_1^2 + 2m{x_2} + 3{x_2} + 3{x_1} + {x_1}{x_2}\\P = - x_1^2 + 2m{x_2} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2}\end{array}\)

Áp dụng định li Vi-ét ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = - 2m}\\{{x_1}{x_2} = {m^2} + m - 2}\end{array}} \right.\), khi đó:

\(\begin{array}{l}P = - x_1^2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right){x_2} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2}\\P = - x_1^2 - {x_1}{x_2} - x_2^2 + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2}\\P = - \left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\\P = - \left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 2{x_1}{x_2}} \right) + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\\P = - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 2{x_1}{x_2} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\end{array}\)

Thay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = - 2m}\\{{x_1}{x_2} = {m^2} + m - 2}\end{array}} \right.\) vào \(P\) ta có:

\(\begin{array}{l}P = - {( - 2m)^2} + 2\left( {{m^2} + m - 2} \right) + 3\left( { - 2m} \right)\\P = - 4{m^2} + 2{m^2} + 2m - 4 - 6m\\P = - 2{m^2} - 4m - 4\\P = - 2\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) - 2\\P = - 2{(m + 1)^2} - 2\end{array}\)

Ta có \({(m + 1)^2} \ge 0\forall m \Leftrightarrow - 2{(m + 1)^2} \le 0\forall m \Leftrightarrow - 2{(m + 1)^2} - 2 \le - 2\forall m\).

Dấu "=" xảy ra khi \({(m + 1)^2} = 0 \Leftrightarrow m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1\)

Vậy GTLN của \(P\) là -2 , đạt được khi \(m = - 1\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link