Cho phương trình: \({x^2} + 2mx + {m^2} + m - 2 = 0\) (1) (m là tham số). Tìm \(m\) để phuơng trình (1) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) sao cho biểu thức \(P\) đạt giá trị lớn nhất với \(P = - x_1^2 + \left( {2m + 3} \right){x_2} + 3{x_1} + {x_1}{x_2}\).

Câu 672494: Cho phương trình: \({x^2} + 2mx + {m^2} + m - 2 = 0\) (1) (m là tham số). Tìm \(m\) để phuơng trình (1) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) sao cho biểu thức \(P\) đạt giá trị lớn nhất với \(P = - x_1^2 + \left( {2m + 3} \right){x_2} + 3{x_1} + {x_1}{x_2}\).

Xem lời giải

Câu hỏi : 672494

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Công thức Công thức \(\Delta ' = {(b')^2} - ac\) với \(b' = \dfrac{b}{2}\)

Phương trình có hai nghiệm khi \(\Delta \ge 0\)

Hệ thức Vi-ét \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)

(0) bình luận (0) lời giải

** Viết lời giải để bạn bè cùng tham khảo ngay tại đây
Viết lời giải

Up ảnh lời giải
Viết công thức
Giải chi tiết:
Ta có: \({\rm{\Delta '}} = {m^2} - 1 \cdot \left( {{m^2} + m - 2} \right) = {m^2} - {m^2} - m + 2 = - m + 2\).
Để phương trình (I) có hai nghiệm thì \({\rm{\Delta '}} \ge 0\) hay \( - m + 2 \ge 0 \Leftrightarrow m \le 2\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}P = - x_1^2 + (2m + 3){x_2} + 3{x_1} + {x_1}{x_2}\\P = - x_1^2 + 2m{x_2} + 3{x_2} + 3{x_1} + {x_1}{x_2}\\P = - x_1^2 + 2m{x_2} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2}\end{array}\)
Áp dụng định li Vi-ét ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = - 2m}\\{{x_1}{x_2} = {m^2} + m - 2}\end{array}} \right.\), khi đó:
\(\begin{array}{l}P = - x_1^2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right){x_2} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2}\\P = - x_1^2 - {x_1}{x_2} - x_2^2 + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2}\\P = - \left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\\P = - \left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 2{x_1}{x_2}} \right) + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\\P = - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 2{x_1}{x_2} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\end{array}\)
Thay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = - 2m}\\{{x_1}{x_2} = {m^2} + m - 2}\end{array}} \right.\) vào \(P\) ta có:
\(\begin{array}{l}P = - {( - 2m)^2} + 2\left( {{m^2} + m - 2} \right) + 3\left( { - 2m} \right)\\P = - 4{m^2} + 2{m^2} + 2m - 4 - 6m\\P = - 2{m^2} - 4m - 4\\P = - 2\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) - 2\\P = - 2{(m + 1)^2} - 2\end{array}\)
Ta có \({(m + 1)^2} \ge 0\forall m \Leftrightarrow - 2{(m + 1)^2} \le 0\forall m \Leftrightarrow - 2{(m + 1)^2} - 2 \le - 2\forall m\).
Dấu "=" xảy ra khi \({(m + 1)^2} = 0 \Leftrightarrow m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1\)
Vậy GTLN của \(P\) là -2 , đạt được khi \(m = - 1\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.