Cho tam giác ABC có ba góc nhọn \((BA < BC)\) và nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Hai tiếp tuyến

Câu hỏi số 672496:

Vận dụng cao

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn \((BA < BC)\) và nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Hai tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) tại \(A\) và \(C\) cắt nhau tại \(I\). Tia BI cắt đường tròn \((O)\) tại điểm thúr hai là \(D\).

a) Chứng minh rằng tứ giác OAIC nội tiếp.

b) Chứng minh \(I{C^2} = IB.ID\)

c) Gọi \(M\) là trung điểm của BD. Tia CM cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điềm thứ hai là \(E\).

Chứng minh rằng: \(MO \bot AE\).

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác OAIC có tổng hai góc đối bằng \(180^\circ \) nên nội tiếp.

b) Chứng \({\rm{\Delta }}IDC\backsim {\rm{\Delta }}ICB\left( {g - g} \right)\) suy ra các cặp cạnh tỉ lệ.

c) Chứng minh AE song song với BD, mà BD vuông góc với MO suy ra điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

a) Ta có \({\rm{IA}}\) và \({\rm{IC}}\) là tiếp tuyến của đường tròn nên \(OA \bot IA;OC \bot CI\).

\( \Rightarrow \angle OAI = \angle OCI = {90^ \circ }\)

Xét tứ giác \({\rm{OAIC}}\) có \(\angle OAI + \angle OCI = {90^ \circ } + {90^ \circ } = {180^ \circ }\)

Mà 2 góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác \({\rm{OAIC}}\) nội tiếp đường tròn (dhnb) (đpcm)

b) Xét và có:

\(\angle CID\) chung

\(\angle ICD = \angle IBC\) (tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

\( \Rightarrow {\rm{\Delta }}IDC\backsim {\rm{\Delta }}ICB\left( {{\rm{\;g}}.{\rm{g}}} \right) \Rightarrow \dfrac{{ID}}{{IC}} = \dfrac{{IC}}{{IB}} \Leftrightarrow I{C^2} = IB.ID\left( {{\rm{dpcm}}} \right)\)

c) Do \({\rm{M}}\) là trung điểm của \({\rm{BD}}\) (gt) nên \(OM \bot BD\) (tính chất đường kính vuông góc với dây cung)

Xét tứ giác ICOM có \(\angle IMO + \angle ICO = {90^ \circ } + {90^ \circ } = {180^ \circ }\)

Mà 2 góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác ICOM nội tiếp đường tròn (dhnb)

Mà tứ giác \({\rm{OAIC}}\) nội tiếp đường tròn \(\left( {{\rm{cmt}}} \right)\) nên \({\rm{I}},{\rm{C}},{\rm{O}},{\rm{M}},{\rm{A}}\) cùng thuộc một đường tròn

\( \Rightarrow \angle IMC = \angle IAC\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \({\rm{IC}}\)) (1)

Mà \(\angle AEC = \angle IAC\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung) (2)

và \(\angle IMC = \angle EMB\) (đối đỉnh) (3)

Từ (1),(2), (3) \( \Rightarrow \angle AEM = \angle EMB\left( { = \angle IMC = \angle IAC} \right)\)

Mà 2 góc này ờ vị trí so le trong nên suy ra \(AE \bot BD\)

Mà \(OM \bot BD\) (cmt) \( \Rightarrow OM \bot AE\) (đpcm)

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:672496

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.