Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^5} + 2{x^3} - 3m\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \(f\left( {\sqrt[3]{{f\left( x \right) + m}}} \right) = {x^3} - m\) có nghiệm trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\)?

Câu 673328: Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^5} + 2{x^3} - 3m\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \(f\left( {\sqrt[3]{{f\left( x \right) + m}}} \right) = {x^3} - m\) có nghiệm trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\)?

A. 18.

B. 15.

C. 17.

D. 20.

Câu hỏi : 673328

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \sqrt[3]{{f\left( x \right) + m}} \Rightarrow {t^3} = f\left( x \right) + m \Leftrightarrow m = {t^3} - f\left( x \right)\). Sử dụng phương pháp xét tính đặc trưng của hàm số.

Sử dụng tương giao đồ thị hàm số.

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt \(t = \sqrt[3]{{f\left( x \right) + m}} \Rightarrow {t^3} = f\left( x \right) + m \Leftrightarrow m = {t^3} - f\left( x \right)\).
Khi đó ta có: \(f\left( t \right) = {x^3} - m \Rightarrow m = {x^3} - f\left( t \right)\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {t^3} - f\left( x \right) = {x^3} - f\left( t \right)\\ \Leftrightarrow {t^3} + f\left( t \right) = {x^3} + f\left( x \right)\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^3} + f\left( x \right) = {x^3} + {x^5} + 2{x^3} - 3m = {x^5} + 3{x^3} - 3m\) ta có: \(g'\left( x \right) = 5{x^4} + 9{x^2} \ge 0\,\,\forall x\).
Do đó hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Từ (*) suy ra \(t = x \Leftrightarrow {x^3} = f\left( x \right) + m = {x^5} + 2{x^3} - 3m + m\)\( \Leftrightarrow 2m = {x^5} + {x^3}\) (**)
Xét hàm số \(h\left( x \right) = {x^5} + {x^3}\) trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) ta có \(h'\left( x \right) = 5{x^4} + 3{x^2} \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {1;2} \right]\) nên hàm số đồng biến trên [1;2].
\( \Rightarrow h\left( x \right) \in \left[ {h\left( 1 \right);h\left( 2 \right)} \right] = \left[ {2;40} \right]\)
\( \Rightarrow \) Phương trình (**) có nghiệm khi \(2m \in \left[ {2;40} \right] \Rightarrow m \in \left[ {1;20} \right]\)
Mà m là số nguyên \( \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;...;13;20} \right\}\) nên có 20 giá trị m thoả mãn.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.