Cho x, y là các số thực thoả mãn \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5\). Giá trị

Câu hỏi số 673331:

Vận dụng cao

Cho x, y là các số thực thoả mãn \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{3{y^2} + 4xy + 7x + 4y - 1}}{{x + 2y + 1}}\) bằng:

A. \(2\sqrt 3 \).

B. 3.

C. \(\dfrac{{114}}{{11}}\).

D. \(\sqrt 3 \).

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

Đặt \(t = x + 2y\), đưa biểu thức P về hàm số ẩn t.

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có: \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 6x - 2y + 5 = 0\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{3{y^2} + 4xy + 7x + 4y - 1}}{{x + 2y + 1}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {3{y^2} + 4xy + 7x + 4y + 1} \right) + \left( {{x^2} + {y^2} - 6x - 2y + 5} \right)}}{{x + 2y + 1}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{{x^2} + 4xy + 4{y^2} + x + 2y + 4}}{{x + 2y + 1}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{{{\left( {x + 2y} \right)}^2} + 3}}{{x + 2y + 1}} + 1\end{array}\)

Đặt \(t = x + 2y\) ta có \(P = \dfrac{{{t^2} + 3}}{{t + 1}} + 1 = f\left( t \right)\).

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {{1^2} + {2^2}} \right)\left[ {{{\left( {3 - x} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \right] \ge {\left( {x - 3 + 2y - 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 25 \ge {\left( {x + 2y - 5} \right)^2} \Leftrightarrow \left| {x + 2y - 5} \right| \le 5\\ \Leftrightarrow - 5 \le x + 2y - 5 \le 5\\ \Leftrightarrow 0 \le x + 2y \le 10 \Leftrightarrow 0 \le t \le 10\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} + 3}}{{t + 1}} + 1\) ta có: \(f'\left( t \right) = \dfrac{{2t\left( {t + 1} \right) - \left( {{t^2} + 3} \right)}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{{t^2} + 2t - 3}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 3\end{array} \right.\).

BBT:

Từ BBT ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;10} \right]} f\left( t \right) = 3 \Leftrightarrow t = 1\).

Vậy \({P_{\min }} = 3 \Leftrightarrow x + 2y = 1.\)

Xem lời giải

Câu hỏi:673331

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.