Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), SA – 2a, AB = a,

Câu hỏi số 673332:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), SA – 2a, AB = a, \(\angle ABC = {120^0}\). Gọi M là điểm trên cạnh SC sao cho SM = 2MC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM bằng

A. \(\dfrac{a}{2}\).

B. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

C. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

D. \(a\).

Đáp án đúng là: D

Phương pháp giải

Sử dụng định lí: Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với nó.

Giải chi tiết

Trong (SAC) kẻ MH // SA \(\left( {H \in AC} \right)\), ta có \(SA//\left( {BMH} \right) \supset BM\)

\( \Rightarrow d\left( {SA,BM} \right) = d\left( {SA,\left( {BMH} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {BMH} \right)} \right)\).

Trong (ABC) kẻ \(AI \bot BH\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}MH//SA \Rightarrow MH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow MH \bot AI\\AI \bot BH\end{array} \right. \Rightarrow AI \bot \left( {BMH} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {A,\left( {BMH} \right)} \right) = AI\).

Tam giác ABC cân tại B có \(\angle ABC = {120^0}\) \( \Rightarrow \angle BAC = \angle BCA = {30^0}\).

\(\begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.\cos \angle ABC = {a^2} + {a^2} - 2.a.a.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = 3{a^2}\\ \Rightarrow AC = a\sqrt 3 \end{array}\)

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{HC}}{{AH}} = \dfrac{{MC}}{{SM}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}HC = \dfrac{1}{3}AC = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\\AH = \dfrac{2}{3}AC = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\).

Xét tam giác ABH có:

\(\begin{array}{l} + )\,\,B{H^2} = A{B^2} + A{H^2} - 2AB.AH.\cos \angle BAC\\ = {a^2} + {\left( {\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} - 2.a.\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\cos {30^0}\\ = {a^2} + \dfrac{{4{a^2}}}{3} - \dfrac{{4{a^2}\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^2}}}{3}\\ \Rightarrow BH = \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}\end{array}\)

\( + )\,\,{S_{\Delta ABH}} = \dfrac{1}{2}AB.AH.\sin {30^0} = \dfrac{1}{2}.a.\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{6}\).

Mà \({S_{\Delta ABH}} = \dfrac{1}{2}AI.BH \Rightarrow AI = \dfrac{{2{S_{\Delta ABH}}}}{{BH}} = \dfrac{{2.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{6}}}{{\dfrac{a}{{\sqrt 3 }}}} = a\).

Vậy \(d\left( {SA,BM} \right) = a\).

Xem lời giải

Câu hỏi:673332

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.