Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), SA – 2a, AB = a, \(\angle ABC = {120^0}\). Gọi M là điểm trên cạnh SC sao cho SM = 2MC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM bằng

Câu 673332: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), SA – 2a, AB = a, \(\angle ABC = {120^0}\). Gọi M là điểm trên cạnh SC sao cho SM = 2MC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM bằng

A. \(\dfrac{a}{2}\).

B. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

C. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

D. \(a\).

Câu hỏi : 673332

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí: Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với nó.

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Trong (SAC) kẻ MH // SA \(\left( {H \in AC} \right)\), ta có \(SA//\left( {BMH} \right) \supset BM\)
\( \Rightarrow d\left( {SA,BM} \right) = d\left( {SA,\left( {BMH} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {BMH} \right)} \right)\).
Trong (ABC) kẻ \(AI \bot BH\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}MH//SA \Rightarrow MH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow MH \bot AI\\AI \bot BH\end{array} \right. \Rightarrow AI \bot \left( {BMH} \right)\)
\( \Rightarrow d\left( {A,\left( {BMH} \right)} \right) = AI\).
Tam giác ABC cân tại B có \(\angle ABC = {120^0}\) \( \Rightarrow \angle BAC = \angle BCA = {30^0}\).
\(\begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.\cos \angle ABC = {a^2} + {a^2} - 2.a.a.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = 3{a^2}\\ \Rightarrow AC = a\sqrt 3 \end{array}\)
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{HC}}{{AH}} = \dfrac{{MC}}{{SM}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}HC = \dfrac{1}{3}AC = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\\AH = \dfrac{2}{3}AC = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\).
Xét tam giác ABH có:
\(\begin{array}{l} + )\,\,B{H^2} = A{B^2} + A{H^2} - 2AB.AH.\cos \angle BAC\\ = {a^2} + {\left( {\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} - 2.a.\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\cos {30^0}\\ = {a^2} + \dfrac{{4{a^2}}}{3} - \dfrac{{4{a^2}\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^2}}}{3}\\ \Rightarrow BH = \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}\end{array}\)
\( + )\,\,{S_{\Delta ABH}} = \dfrac{1}{2}AB.AH.\sin {30^0} = \dfrac{1}{2}.a.\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{6}\).
Mà \({S_{\Delta ABH}} = \dfrac{1}{2}AI.BH \Rightarrow AI = \dfrac{{2{S_{\Delta ABH}}}}{{BH}} = \dfrac{{2.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{6}}}{{\dfrac{a}{{\sqrt 3 }}}} = a\).
Vậy \(d\left( {SA,BM} \right) = a\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.