Cho tứ diện ABCD đều có cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và BC.

Câu hỏi số 673334:

Vận dụng

Cho tứ diện ABCD đều có cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và BC. Điểm P trên cạnh CD sao cho \(PD = 2CP\). Mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q. Thể tích khối đa diện BMNPQD bằng

A. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{{48}}\).

B. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{6}\).

C. \(\dfrac{{25\sqrt 2 }}{{432}}\).

D. \(\dfrac{{23\sqrt 2 }}{{432}}\).

Đáp án đúng là: D

Phương pháp giải

Xác định điểm Q, sử dụng: “Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì cắt nhau theo giao tuyến song song với hai đường thẳng đó”.

Phân tích \({V_{BMNPQD}} = {V_{ABCD}} - \left( {{V_{C.MNP}} + {V_{M.ACPQ}}} \right)\).

Lần lượt tính \({V_{C.MNP}},\,\,{V_{M.ACPQ}}\) theo \({V_{ABCD}}\).

Sử dụng công thức tính nhanh thể tích khối tứ diện đều cạnh a: \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).

Giải chi tiết

Xét (MNP) và (ACD) có P chung, MN // AC.

\( \Rightarrow \) Giao tuyến của (MNP) và (ACD) là đường thẳng qua P và song song với AC.

\( \Rightarrow \) Qua P kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD tại Q.

Ta có: \({V_{BMNPQD}} = {V_{ABCD}} - \left( {{V_{C.MNP}} + {V_{M.ACPQ}}} \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l} + )\,\,\dfrac{{{V_{C.MNP}}}}{{{V_{C.MBD}}}} = \dfrac{{CN}}{{CB}}.\dfrac{{CP}}{{CD}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\\ \Rightarrow {V_{C.MNP}} = \dfrac{1}{6}{V_{C.MBD}}\\\left\{ \begin{array}{l}{V_{C.MBD}} = {V_{B.MCD}}\\\dfrac{{{V_{B.MCD}}}}{{{V_{B.ACD}}}} = \dfrac{{BM}}{{BA}} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow {V_{C.MBD}} = \dfrac{1}{2}{V_{B.ACD}} = \dfrac{1}{2}{V_{ABCD}}\\ \Rightarrow {V_{C.MNP}} = \dfrac{1}{6}.\dfrac{1}{2}{V_{ABCD}} = \dfrac{1}{{12}}{V_{ABCD}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} + )\,\,\dfrac{{{V_{M.ACPQ}}}}{{{V_{B.ACPQ}}}} = \dfrac{{MA}}{{BA}} = \dfrac{1}{2}\\\dfrac{{{V_{B.ACPQ}}}}{{{V_{B.ACD}}}} = \dfrac{{{S_{ACPQ}}}}{{{S_{ACD}}}} = 1 - \dfrac{{{S_{PQD}}}}{{{S_{ACD}}}} = 1 - \dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{9}\\ \Rightarrow \dfrac{{{V_{B.ACPQ}}}}{{{V_{B.ACD}}}} = \dfrac{5}{9}\\ \Rightarrow \dfrac{{{V_{M.ACPQ}}}}{{{V_{B.ACD}}}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{5}{9} = \dfrac{5}{{18}}\\ \Rightarrow {V_{M.ACPQ}} = \dfrac{5}{{18}}{V_{B.ACD}} = \dfrac{5}{{18}}{V_{ABCD}}\end{array}\)

\( \Rightarrow {V_{BMNPQD}} = {V_{ABCD}} - \left( {\dfrac{1}{{12}}{V_{ABCD}} + \dfrac{5}{{18}}{V_{ABCD}}} \right) = \dfrac{{23}}{{36}}{V_{ABCD}}\).

Vì ABCD là tứ diện đều cạnh 1 nên \({V_{ABCD}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{12}}\).

Vậy \({V_{BMNPQD}} = \dfrac{{23}}{{36}}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{{12}} = \dfrac{{23\sqrt 3 }}{{432}}\).

Xem lời giải

Câu hỏi:673334

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.