Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên.

Câu hỏi số 673338:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số \(y = f\left( {1 + {x^2}} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( { - \sqrt 3 ; - 1} \right)\).

B. \(\left( {\sqrt 3 ; + \infty } \right)\).

C. \(\left( {0;1} \right)\).

D. \(\left( {1;\sqrt 3 } \right)\).

Đáp án đúng là: D

Phương pháp giải

Đặt \(y = g\left( x \right) = f\left( {1 + {x^2}} \right)\), tính \(g'\left( x \right)\).

Giải bất phương trình \(g'\left( x \right) < 0\), các khoảng nghiệm của bất phương trình chính là các khoảng nghịch biến của hàm số \(y = g\left( x \right)\).

Giải chi tiết

Đặt \(y = g\left( x \right) = f\left( {1 + {x^2}} \right)\) \( \Rightarrow g'\left( x \right) = 2x.f'\left( {1 + {x^2}} \right)\).

Giải bất phương trình \(g'\left( x \right) < 0\).

TH1: Với \(x > 0 \Rightarrow f'\left( {1 + {x^2}} \right) < 0\)

\( \Leftrightarrow 2 < 1 + {x^2} < 4 \Leftrightarrow 1 < {x^2} < 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 1\end{array} \right.\\ - \sqrt 3 < x < \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 < x < \sqrt 3 \\ - \sqrt 3 < x < - 1\end{array} \right.\).

Kết hợp điều kiện \(x > 0\) suy ra \(1 < x < \sqrt 3 \).

TH2: Với \(x < 0 \Rightarrow f'\left( {1 + {x^2}} \right) > 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 + {x^2} < 2\\1 + {x^2} > 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} < 1\\{x^2} > 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < x < 1\\\left[ \begin{array}{l}x > \sqrt 3 \\x < - \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - \sqrt 3 \\ - 1 < x < 1\\x > \sqrt 3 \end{array} \right.\).

Kết hợp điều kiện \(x < 0\) suy ra \(\left[ \begin{array}{l}x < - \sqrt 3 \\ - 1 < x < 0\end{array} \right.\).

Vậy hàm số \(y = g\left( x \right) = f\left( {1 + {x^2}} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;\sqrt 3 } \right)\), \(\left( { - \infty ; - \sqrt 3 } \right)\), \(\left( { - 1;0} \right)\).

Xem lời giải

Câu hỏi:673338

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.