Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số \(y = f\left( {1 + {x^2}} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Đáp án đúng là: D
Đặt \(y = g\left( x \right) = f\left( {1 + {x^2}} \right)\), tính \(g'\left( x \right)\).
Giải bất phương trình \(g'\left( x \right) < 0\), các khoảng nghiệm của bất phương trình chính là các khoảng nghịch biến của hàm số \(y = g\left( x \right)\).
Đặt \(y = g\left( x \right) = f\left( {1 + {x^2}} \right)\) \( \Rightarrow g'\left( x \right) = 2x.f'\left( {1 + {x^2}} \right)\).
Giải bất phương trình \(g'\left( x \right) < 0\).
TH1: Với \(x > 0 \Rightarrow f'\left( {1 + {x^2}} \right) < 0\)
\( \Leftrightarrow 2 < 1 + {x^2} < 4 \Leftrightarrow 1 < {x^2} < 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 1\end{array} \right.\\ - \sqrt 3 < x < \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 < x < \sqrt 3 \\ - \sqrt 3 < x < - 1\end{array} \right.\).
Kết hợp điều kiện \(x > 0\) suy ra \(1 < x < \sqrt 3 \).
TH2: Với \(x < 0 \Rightarrow f'\left( {1 + {x^2}} \right) > 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 + {x^2} < 2\\1 + {x^2} > 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} < 1\\{x^2} > 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < x < 1\\\left[ \begin{array}{l}x > \sqrt 3 \\x < - \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - \sqrt 3 \\ - 1 < x < 1\\x > \sqrt 3 \end{array} \right.\).
Kết hợp điều kiện \(x < 0\) suy ra \(\left[ \begin{array}{l}x < - \sqrt 3 \\ - 1 < x < 0\end{array} \right.\).
Vậy hàm số \(y = g\left( x \right) = f\left( {1 + {x^2}} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;\sqrt 3 } \right)\), \(\left( { - \infty ; - \sqrt 3 } \right)\), \(\left( { - 1;0} \right)\).
Hỗ trợ - Hướng dẫn
![](/themes/images/call.png)
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com