Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy ABCD là hình bình hành có \(AB = a,\,\,AD = 3a\), \(\angle BAD =

Câu hỏi số 673342:

Vận dụng

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy ABCD là hình bình hành có \(AB = a,\,\,AD = 3a\), \(\angle BAD = {120^0}\), \(AA' = \sqrt 3 a\), hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm tam giác ABD. Thể tích khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) là:

A. \(\dfrac{{2{a^3}\sqrt 5 }}{3}\).

B. \(2{a^3}\sqrt 5 \).

C. \({a^3}\sqrt {15} \).

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{2}\).

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD, H là trọng tâm tam giác ABD \( \Rightarrow A'H \bot \left( {ABCD} \right)\).

Vì \(\angle BAD = {120^0} \Rightarrow \angle ABC = {60^0}\). Áp dụng định lí Côsin trong tam giác ABC tính AC. Từ đó tính AH.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông A’AH tính A’H.

Sử dụng công thức \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.BC.\sin \angle ABC\), từ đó tính diện tích hình bình hành ABCD.

Tính thể tích \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = A'H.{S_{ABCD}}\).

Giải chi tiết

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD, H là trọng tâm tam giác ABD \( \Rightarrow A'H \bot \left( {ABCD} \right)\).

Vì \(\angle BAD = {120^0} \Rightarrow \angle ABC = {60^0}\).

Áp dụng định lí Côsin trong tam giác ABC có:

\(\begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.\cos \angle ABC\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {a^2} + 9{a^2} - 2.a.3a.\cos {60^0}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 7{a^2}\\ \Rightarrow AC = a\sqrt 7 \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AO = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}\\ \Rightarrow AH = \dfrac{2}{3}AO = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{3}\end{array}\)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông A’AH có:

\(A'H = \sqrt {AA{'^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 a} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 7 }}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{2\sqrt 5 a}}{3}\).

Ta có: \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.BC.\sin \angle ABC = \dfrac{1}{2}.a.3a.\sin {60^0} = \dfrac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{4}\)

\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = 2{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{2}\)

Vậy \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = A'H.{S_{ABCD}} = \dfrac{{2\sqrt 5 a}}{3}.\dfrac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{2} = {a^3}\sqrt {15} \).

Xem lời giải

Câu hỏi:673342

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.