Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy ABCD là hình bình hành có \(AB = a,\,\,AD = 3a\), \(\angle BAD =
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy ABCD là hình bình hành có \(AB = a,\,\,AD = 3a\), \(\angle BAD = {120^0}\), \(AA' = \sqrt 3 a\), hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm tam giác ABD. Thể tích khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) là:
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD, H là trọng tâm tam giác ABD \( \Rightarrow A'H \bot \left( {ABCD} \right)\).
Vì \(\angle BAD = {120^0} \Rightarrow \angle ABC = {60^0}\). Áp dụng định lí Côsin trong tam giác ABC tính AC. Từ đó tính AH.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông A’AH tính A’H.
Sử dụng công thức \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.BC.\sin \angle ABC\), từ đó tính diện tích hình bình hành ABCD.
Tính thể tích \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = A'H.{S_{ABCD}}\).
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD, H là trọng tâm tam giác ABD \( \Rightarrow A'H \bot \left( {ABCD} \right)\).
Vì \(\angle BAD = {120^0} \Rightarrow \angle ABC = {60^0}\).
Áp dụng định lí Côsin trong tam giác ABC có:
\(\begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.\cos \angle ABC\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {a^2} + 9{a^2} - 2.a.3a.\cos {60^0}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 7{a^2}\\ \Rightarrow AC = a\sqrt 7 \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow AO = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}\\ \Rightarrow AH = \dfrac{2}{3}AO = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{3}\end{array}\)
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông A’AH có:
\(A'H = \sqrt {AA{'^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 a} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 7 }}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{2\sqrt 5 a}}{3}\).
Ta có: \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.BC.\sin \angle ABC = \dfrac{1}{2}.a.3a.\sin {60^0} = \dfrac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{4}\)
\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = 2{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{2}\)
Vậy \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = A'H.{S_{ABCD}} = \dfrac{{2\sqrt 5 a}}{3}.\dfrac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{2} = {a^3}\sqrt {15} \).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
