Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a tâm O, hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là

Câu hỏi số 673343:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a tâm O, hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AO, góc giữa mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng \({60^0}\). Thể tích khối chóp S.ABCD là:

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{36}}\).

D. \(\dfrac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:673343

Phương pháp giải

Gọi H là trung điểm của AO \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Trong (ABCD) kẻ HM // AD, chứng minh \(\left( {\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {HM,SM} \right) = \angle SMH\).

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính SH.

Tính thể tích \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}}\).

Giải chi tiết

Gọi H là trung điểm của AO \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Trong (ABCD) kẻ HM // AD \( \Rightarrow HM \bot CD\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot HM\\CD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow CD \bot SM\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\HM \bot CD\\SM \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {HM,SM} \right) = \angle SMH = {60^0}\)

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{HM}}{{AD}} = \dfrac{{HC}}{{AC}} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow HM = \dfrac{3}{4}AD = \dfrac{{3a}}{4}\).

Xét tam giác vuông SHM có: \(SH = HM.\tan {60^0} = \dfrac{{3a\sqrt 3 }}{4}\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3a\sqrt 3 }}{4}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.