Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;6} \right]\) và có bảng biến thiên

Câu hỏi số 673531:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;6} \right]\) và có bảng biến thiên như hình sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để bất phương trình\(m{f^2}\left( x \right) + m + 15\sqrt {x} \le 2024{f^2}\left( x \right) - 5\sqrt {40 - 6{x}} + 3f\left( x \right) + 2023\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ {0;6} \right].\)

A. 2000.

B. 2001.

C. 1999.

D. 2023.

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải

Cô lập m và tìm GTNN bằng cách dùng hàm số

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}m{f^2}\left( x \right) + m + 15\sqrt {x} \le 2024{f^2}\left( x \right) - 5\sqrt {40 - 6{x}} + 3f\left( x \right) + 2023\\ \Leftrightarrow m\left( {{f^2}\left( x \right) + 1} \right) \le 2024\left( {{f^2}\left( x \right) + 1} \right) - 5\sqrt {40 - 6{x}} + 3f\left( x \right) - 1 - 15\sqrt {x} \\ \Leftrightarrow \left( {m - 2024} \right)\left( {{f^2}\left( x \right) + 1} \right) \le 3f\left( x \right) - 5\sqrt {40 - 6{x}} - 1 - 15\sqrt {x} \\ \Leftrightarrow m - 2024 \le \dfrac{{3f\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right) + 1}} - \dfrac{{5\sqrt {40 - 6{x}} + 15\sqrt {x} + 1}}{{{f^2}\left( x \right) + 1}}\\ \Leftrightarrow m \le \dfrac{{3f\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right) + 1}} - \dfrac{{5\sqrt {40 - 6{x}} + 15\sqrt {x} + 1}}{{{f^2}\left( x \right) + 1}} + 2024\end{array}\)

Xét hàm \(g = \dfrac{{3f\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right) + 1}}\) với \(f\left( x \right) \in \left[ {1,5} \right]\)\( \Rightarrow {g_{\max }} = g\left( 1 \right) = \dfrac{3}{2}\)

Xét \(h\left( x \right) = 5\sqrt {40 - 6x} + 15\sqrt x + 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow h'\left( x \right) = \dfrac{{ - 30}}{{2\sqrt {40 - 6x} }} + \dfrac{{15}}{{2\sqrt x }}\\ \Rightarrow h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{30}}{{2\sqrt {40 - 6x} }} = \dfrac{{15}}{{2\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 4\end{array}\)

\( \Rightarrow {h_{\max }} = h\left( 4 \right) = 51\)

Mà \({f^2}\left( x \right) + 1\) nhỏ nhất bằng 2

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{5\sqrt {40 - 6x} + 15\sqrt x + 1}}{{{f^2}\left( x \right) + 1}} \ge \dfrac{{51}}{2}\\ \Rightarrow \dfrac{{3f\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right) + 1}} - \dfrac{{5\sqrt {40 - 6x} + 15\sqrt x + 1}}{{{f^2}\left( x \right) + 1}} + 2024 \le \dfrac{3}{2} - \dfrac{{51}}{2} + 2024 = 2000\\ \Rightarrow m \le 2000\end{array}\)

Mà m nguyên nên \(m \in \left\{ {1,2,...,2000} \right\}\)

Vậy có tất cả 2000 số nguyên m thỏa mãn.

Xem lời giải

Câu hỏi:673531

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.