Cho hàm số \(y = {x^3} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {5m + 1} \right)x - 2m - 2\) có đồ thị là \(\left( {{C_m}} \right),\,\,m\) là tham số. Tập \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên của \(m\) và \(m \in \left( { - 2024;2024} \right)\) để \(\left( {{C_m}} \right)\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt \(A\left( {2;0} \right),\,\,B,\,\,C\) sao cho trong hai điểm \(B,\,\,C\) có một điểm nằm trong và một điểm nằm ngoài đường tròn có phương trình \({x^2} + {y^2} = 1\). Tính số phần tử của \(S\)

Câu 673793: Cho hàm số \(y = {x^3} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {5m + 1} \right)x - 2m - 2\) có đồ thị là \(\left( {{C_m}} \right),\,\,m\) là tham số. Tập \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên của \(m\) và \(m \in \left( { - 2024;2024} \right)\) để \(\left( {{C_m}} \right)\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt \(A\left( {2;0} \right),\,\,B,\,\,C\) sao cho trong hai điểm \(B,\,\,C\) có một điểm nằm trong và một điểm nằm ngoài đường tròn có phương trình \({x^2} + {y^2} = 1\). Tính số phần tử của \(S\)

A. 4044.

B. 2022.

C. 2021.

D. 4042.

Câu hỏi : 673793

Phương pháp giải:

Biện luận theo giả thiết tìm \(m\)

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {5m + 1} \right)x - 2m - 2 = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 2mx + m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\{x^2} - 2mx + m + 1 = 0\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Để \(\left( {{C_m}} \right) \cap Ox\) tại 3 điểm phân biệt thì \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^3} - m - 1 > 0\\{2^2} - 2m.2 + m + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m - 1 > 0\\ - 3m + 5 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2} \approx 1,6\\m < \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2} \approx - 0,61\end{array} \right.\\m \ne \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\)
Xét \({x^2} - 2mx + m + 1 = 0\,\,\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = m + \sqrt {{m^2} - m - 1} \\{x_2} = m - \sqrt {{m^2} - m - 1} \end{array} \right.\)
TH1: \(m > \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\)
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = m + \sqrt {{m^2} - m - 1} > 1\\{x_2} = m - \sqrt {{m^2} - m - 1} < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} - m - 1} > m - 1 \Leftrightarrow {m^2} - m - 1 > {m^2} - 2m + 1 \Leftrightarrow m > 2\,\,\left( {TM} \right)\)
TH2: \(m < \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m < 0\\{x_1}{x_2} = m + 1 > 0\end{array} \right. \Rightarrow {x_1},\,\,{x_2} < 0\)
Yêu cầu bài toán tương đường với
\(\left\{ \begin{array}{l}\left| {{x_1}} \right| < 1\\\left| {{x_2}} \right| > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {m - \sqrt {{m^2} - m - 1} } \right| > 1\\\left| {m + \sqrt {{m^2} - m - 1} } \right| < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m + \sqrt {{m^2} - m - 1} > 1\\ - 1 < m + \sqrt {{m^2} - m - 1} < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m < - \dfrac{2}{3}\) (TM)
Vậy yêu cầu bài toán\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\\m \ne \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\)
Mà \(m\) nguyên, \(m \in \left( { - 2024;2024} \right)\) nên \(m \in \left\{ { - 2023; - 2022; \ldots ; - 1} \right\} \cup \left\{ {3;4; \ldots ;2023} \right\}\)
Chọn A

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.