Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng \(r = 2m\), chiều cao \(h = 6m\). Bác

Câu hỏi số 673794:

Thông hiểu

Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng \(r = 2m\), chiều cao \(h = 6m\). Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng hình trụ như hình vẽ. Gọi \(V\) là thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác. Tính \(V\).

A. \(V = \dfrac{{32\pi }}{9}\,\,\left( {{m^3}} \right)\).

B. \(V = \dfrac{{32\pi }}{3}\left( {{m^3}} \right)\).

C. \(V = \dfrac{{32\pi }}{{27}}\left( {{m^3}} \right)\).

D. \(V = \dfrac{{32\pi }}{5}\left( {{m^3}} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải

- Đặt \(\cot x = t\). Rõ ràng \(t\) nghịch biến trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\)

- Ta tìm điều kiện để hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{t^3} - m{t^2} + t + 1\) đồng biến trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\)

Giải chi tiết

Xét cấu trúc hình như trên

Gọi \(a,\,\,b\) lần lượt là chiều cao, bán kính của hình trụ

Theo định lí Thales ta có: \(\dfrac{{AM}}{{AC}} = \dfrac{{MN}}{{BC}} \Rightarrow \dfrac{{2 - b}}{2} = \dfrac{a}{6} \Rightarrow a = 3\left( {2 - b} \right)\)

Thể tích khối trụ là \({V_T} = \pi {b^2}a = \pi {b^2}.3\left( {2 - b} \right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có: \(\pi {b^2}.3\left( {2 - b} \right) = 12\pi .\dfrac{b}{2}.\dfrac{b}{2}.\left( {2 - b} \right) \le 12\pi .\dfrac{{{{\left( {\dfrac{b}{2} + \dfrac{b}{2} + 2 - b} \right)}^3}}}{{27}} = \dfrac{{32\pi }}{9}\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{b}{2} = 2 - b \Leftrightarrow b = \dfrac{4}{3}\)

Chọn A

Xem lời giải

Câu hỏi:673794

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.