Cho hình chóp \(S.ABCD\) biết \(A\left( { - 2;2;6} \right),\,\,B\left( { - 3;1;8} \right),\,\,C\left( { - 1;0;7}

Câu hỏi số 673804:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABCD\) biết \(A\left( { - 2;2;6} \right),\,\,B\left( { - 3;1;8} \right),\,\,C\left( { - 1;0;7} \right),\,\,D\left( {1;2;3} \right)\). Gọi \(H\) là trung điểm của \(CD,\,\,SH \bot \left( {ABCD} \right)\). Để khối chóp \(S.ABCD\) có thể tích bằng 15(đvtt) thì có hai điểm \({S_1},\,\,{S_2}\) sao cho \(S \equiv {S_1},\,\,S \equiv {S_2}\). Tìm tọa độ trung điểm \(I\) của \({S_1}{S_2}\).

A. \(I\left( {1;0;3} \right)\).

B. \(I\left( {0;1;5} \right)\).

C. \(I\left( { - 1;0; - 3} \right)\).

D. \(I\left( {0; - 1; - 3} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1;2} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 2;1} \right)\)

Khi đó \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}} \right|\)

Lại có: \(\overrightarrow {DC} = \left( { - 2; - 2;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {AB} \)

\( \Rightarrow ABCD\) là hình thang và \({S_{ABCD}} = 3{S_{ABC}} = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{2}\)

Vì \({V_{SABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} \Rightarrow SH = \dfrac{{10}}{{\sqrt 3 }}\)

Do \(H\) là trung điểm của \(CD \Rightarrow H\left( {0;1;5} \right)\)

Gọi \(S\left( {a;b;c} \right) \Rightarrow \overrightarrow {SH} = \left( { - a;1 - b;5 - c} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {SH} = k\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = k\left( {3;3;3} \right) = \left( {3k;3k;3k} \right)\)

Suy ra \(\dfrac{{10}}{{\sqrt 3 }} = \sqrt {9{k^2} + 9{k^2} + 9{k^2}} \Rightarrow k = \pm \dfrac{{10}}{9}\)

\(\begin{array}{l}k = 1 \Rightarrow \overrightarrow {SH} = \left( {\dfrac{{10}}{3};\dfrac{{10}}{3};\dfrac{{10}}{3}} \right) \Rightarrow S\left( { - \dfrac{{10}}{3};\dfrac{{ - 7}}{3};\dfrac{5}{3}} \right)\\k = - 1 \Rightarrow \overrightarrow {SH} = \left( { - \dfrac{{10}}{3}; - \dfrac{{10}}{3};\dfrac{{ - 10}}{3}} \right) \Rightarrow S\left( {\dfrac{{10}}{3};\dfrac{{13}}{3};\dfrac{{25}}{3}} \right)\end{array}\)

Do đó \(I\left( {0;1;5} \right)\)

Chọn B

Xem lời giải

Câu hỏi:673804

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.