Tìm số dư trong các phép chia sau:\({\left( {{{1997}^{1998}} + {{1998}^{1999}} + {{1999}^{2000}}} \right)^{10}}\)

Câu hỏi số 674880:

Vận dụng cao

Tìm số dư trong các phép chia sau:

\({\left( {{{1997}^{1998}} + {{1998}^{1999}} + {{1999}^{2000}}} \right)^{10}}\) chia cho 111

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:674880

Phương pháp giải

Với hai số nguyên \(a\) và \(m,m > 0\) luôn có duy nhất cặp số nguyên \(q,r\)sao cho\(a = mq + r,0 \le r < m\).

Để tìm số dư \(r\) trong phép chia \(a\) cho \(m\) ta cần tìm \(r\) sao cho \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \equiv r(\,\bmod \,m)}\\{0 \le r < m}\end{array}} \right.\)

Giải chi tiết

Số dư trong phép chia \({\left( {{{1997}^{1998}} + {{1998}^{1999}} + {{1999}^{2000}}} \right)^{10}}\) cho 111

Ta có: \(1998 \equiv 0(\,\bmod \,111)\)

\( \Rightarrow 1997 \equiv - 1(\,\bmod \,111)\) và \(1999 \equiv 1(\,\bmod \,111)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{1997^{1998}} \equiv 1(\bmod 111)\\{1998^{1999}} \equiv 0(\bmod 111)\\{1999^{2000}} \equiv 1(\bmod 111)\end{array} \right. \Rightarrow \)\({1997^{1998}} + {1998^{1999}} + {1999^{2000}} \equiv 2(\,\bmod \,111)\)

\( \Rightarrow {\left( {{{1997}^{1998}} + {{1998}^{1999}} + {{1999}^{2000}}} \right)^{10}} \equiv {2^{10}}(\,\bmod \,111)\)

Mặt khác: \({2^{10}} = 1024 \equiv 25(\,\bmod \,111)\)

Vậy \({\left( {{{1997}^{1998}} + {{1998}^{1999}} + {{1999}^{2000}}} \right)^{10}}\) chia cho 111 có số dư là 25

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link