Tính đạo hàm bằng định nghĩa các hàm số sau: a) \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\) tại \({x_0} =

Câu hỏi số 674938:

Vận dụng

Tính đạo hàm bằng định nghĩa các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\) tại \({x_0} = 2\).

b) \(f\left( x \right) = 2x\) tại \({x_0} = 3\).

c) \({\rm{y}} = 2{{\rm{x}}^2} + {\rm{x}} + 1\) tại \({{\rm{x}}_0} = 2\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:674938

Phương pháp giải

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và điểm \({x_0}\) thuộc khoảng đó.

Để tính đạo hàm \(f'\left( {{x_0}} \right)\) của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại \({x_0}\), ta lần lượt thực hiện ba bước sau:

Bước 1. Xét \({\rm{\Delta }}x\) là số gia của biến số tại điểm \({x_0}\). Tính \({\rm{\Delta }}y = f\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\).

Bước 2. Rút gọn tỉ số \(\dfrac{{{\rm{\Delta }}y}}{{{\rm{\Delta }}x}}\).

Bước 3. Tính\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = a\)

Kết luận:

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = a\) thì \(f'\left( {{x_0}} \right) = a\).

Giải chi tiết

a) Xét \(\Delta x\) là số gia của biến số tại điểm \({x_0} = 2\).

Ta có: \(\Delta y = f\left( {2 + \Delta x} \right) - f\left( 2 \right) = \dfrac{1}{{2 + \Delta x}} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{{2 - \left( {2 + \Delta x} \right)}}{{2\left( {2 + \Delta x} \right)}} = \dfrac{{ - \Delta x}}{{2\left( {2 + \Delta x} \right)}}\).

Suy ra: \(\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{ - 1}}{{2\left( {2 + \Delta x} \right)}}\).

Ta thấy: \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{ - 1}}{{2(2 + \Delta x)}} = \dfrac{{ - 1}}{4}\).

Vậy \(f'\left( 2 \right) = \dfrac{{ - 1}}{4}\).

b) Xét \(\Delta x\) là số gia của biến số tại điểm \({x_0} = 3\).

Ta có: \(\Delta y = f\left( {3 + \Delta x} \right) - f\left( 3 \right) = 2\left( {\Delta x + 3} \right) - 2.3 = 2\Delta x\).

Suy ra: \(\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 2\).

Ta thấy: \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} 2 = 2\).

Vậy \(f'\left( 3 \right) = 2\).

c) Cho \({x_0} = 2\) một số gia \(\Delta x\). Khi đó hàm số nhận một số gia tương ứng:

\(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) = 2{(2 + \Delta x)^2} + \left( {2 + \Delta x} \right) + 1 - \left( {{{2.2}^2} + 2 + 1} \right) = \Delta x\left( {9 + 2\Delta x} \right)\)

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta x(9 + 2\Delta x)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} (9 + 2\Delta x) = 9\)

Vậy \(f'\left( 2 \right) = 9\).

Chú ý khi giải

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.