Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 3} \) tại \(x;\forall x \in

Câu hỏi số 674939:

Vận dụng

Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 3} \) tại \(x;\forall x \in \mathbb{R}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:674939

Phương pháp giải

Bước 1. Xét \({\rm{\Delta }}x\) là số gia của biến số tại điểm \({x_0}\). Tính \({\rm{\Delta }}y = f\left( {{x_0} + {\rm{\Delta }}x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\).

Bước 2. Rút gọn tỉ số \(\dfrac{{{\rm{\Delta }}y}}{{{\rm{\Delta }}x}}\).

Bước 3. Tính \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{{\rm{\Delta }}x \to 0} \dfrac{{{\rm{\Delta }}y}}{{{\rm{\Delta }}x}}\).

Kết luận: Nếu \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{{\rm{\Delta }}x \to 0} \dfrac{{{\rm{\Delta }}y}}{{{\rm{\Delta }}x}} = a\) thì \(f'\left( {{x_0}} \right) = a\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\sqrt {{{(\Delta x + x)}^2} + 3} - \sqrt {{x^2} + 3} }}{{\Delta x}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\sqrt {{{(\Delta x)}^2} + 2\Delta x \cdot x + {x^2} + 3} - \sqrt {{x^2} + 3} }}{{\Delta x}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{{{(\Delta x)}^2} + 2\Delta x \cdot x}}{{\Delta x \cdot \left( {\sqrt {{{(\Delta x)}^2} + 2\Delta x \cdot x + {x^2} + 3} + \sqrt {{x^2} + 3} } \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta x + 2x}}{{\left( {\sqrt {{{(\Delta x)}^2} + 2\Delta x \cdot x + {x^2} + 3} + \sqrt {{x^2} + 3} } \right)}}\)

\( = \dfrac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 3} }} = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\)

Chú ý khi giải

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.