Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B,AB = BC = 3a\). Biết \(\widehat {SAB}
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B,AB = BC = 3a\). Biết \(\widehat {SAB} = \widehat {SCB} = {90^ \circ }\) và khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(a\sqrt 6 \). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) theo \(a\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Dựng hình vuông \(ABCD \Rightarrow SD \bot mp(ABCD)\).
Khi đó mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC chinh là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD.
Sử dụng công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có một cạnh vuông góc với đáy:
\(R = \sqrt {\dfrac{{{h^2}}}{4} + {r^2}} \) (với \(h\) là độ dài đường cao, \(r\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác
Dựng hình vuông \(ABCD \Rightarrow SD \bot mp(ABCD)\).
Khi đó mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC chinh là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD.
Kẻ \(DH \bot SC(H \in SC)\) mà \(BC \bot (SCD) \Rightarrow DH \bot (SBC)\).
Mặt khác \(AD\parallel BC \Rightarrow d(A;(SBC)) = d(D;(SBC)) = DH = a\sqrt 6 \).
Tam giác SCD vuông tại \(D\), có \(\dfrac{1}{{D{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{D^2}}} + \dfrac{1}{{C{D^2}}} \Rightarrow SD = 3\sqrt 2 a\).
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD là
\(R = \sqrt {R_{ABCD}^2 + \dfrac{{S{D^2}}}{4}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{3\sqrt 2 a}}{2}} \right)}^2} + \dfrac{{{{\left( {3\sqrt 2 a} \right)}^2}}}{4}} = 3a.\)
Vậy diện tích mặt cầu cần tính là \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi {(3a)^2} = 36\pi {a^2}\)
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
