Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ. Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(h\left( x \right) = 3f\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x - 1} \right) + {x^3} - 9{x^2} + 15x + 1\) trên đoạn \(\left[ {1;4} \right]\). Tính giá trị của biểu thức \(T = M + m\).

Câu 675215: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ. Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(h\left( x \right) = 3f\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x - 1} \right) + {x^3} - 9{x^2} + 15x + 1\) trên đoạn \(\left[ {1;4} \right]\). Tính giá trị của biểu thức \(T = M + m\).

A. 5 .

B. 10 .

C. 7 .

D. 30 .

Câu hỏi : 675215

Phương pháp giải:

Tách \(h\left( x \right) = 3f\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x - 1} \right) + g\left( x \right)\) sau đó tìm GTLN và GTNN của \(3f\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x - 1} \right);g\left( x \right)\) trên \(\left[ {1;4} \right]\)

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}h\left( x \right) = 3f\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x - 1} \right) + {x^3} - 9{x^2} + 15x + 1\\ \Rightarrow h'\left( x \right) = 3f'\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x - 1} \right).\dfrac{1}{{x\ln 2}} + 3{x^2} - 18x + 15\end{array}\)
Với \(x \in \left[ {1,4} \right] \Rightarrow {\log _2}x \in \left[ {0,2} \right] \Rightarrow {\log _2}x - 1 \in \left[ { - 1,1} \right]\)
\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1,4} \right]} 3f\left( {{{\log }_2}x - 1} \right) = 15 \Leftrightarrow x = 1\) và \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1,4} \right]} 3f\left( {{{\log }_2}x - 1} \right) = 3 \Leftrightarrow x = 4\)
Đặt \(g\left( x \right) = {x^3} - 9{x^2} + 15x + 1\)
\( \Rightarrow g'\left( x \right) = 3{x^2} - 18x + 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 5\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {1,4} \right]} g\left( x \right) = - 19 \Leftrightarrow x = 4\) và \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1,4} \right]} g\left( x \right) = 8 \Leftrightarrow x = 1\)
\( \Rightarrow M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {1,4} \right]} h\left( x \right) = 15 + 8 = 23 \Leftrightarrow x = 1\) và \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {1,4} \right]} h\left( x \right) = 3 + \left( { - 19} \right) = - 16 \Leftrightarrow x = 4\)
\( \Rightarrow M + m = 23 + \left( { - 16} \right) = 7\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.