Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SC = a\sqrt 3 \).

Câu hỏi số 675435:

Vận dụng cao

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SC = a\sqrt 3 \). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SB, SD, CD, BC. Thể tích của khối chóp A.MNPQ là:

A. \(\dfrac{{{a^3}}}{3}\).

B. \(\dfrac{{{a^3}}}{{12}}\).

C. \(\dfrac{{{a^3}}}{4}\).

D. \(\dfrac{{{a^3}}}{8}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:675435

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính thể tích \({V_{A.MNPQ}} = \dfrac{1}{3}d\left( {A,\left( {MNPQ} \right)} \right).{S_{MNPQ}}\).

Giải chi tiết

Dễ thấy \(MN = PQ = \dfrac{1}{2}BD\), \(MQ = NP = \dfrac{1}{2}SC\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

\( \Rightarrow MNPQ\) là hình bình hành.

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SC \Rightarrow MN \bot NP\)

\( \Rightarrow MNPQ\) là hình chữ nhật.

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh a \( \Rightarrow BD = a\sqrt 2 \Rightarrow MN = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

\(NP = \dfrac{{SC}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Rightarrow {S_{MNPQ}} = MN.NP = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 6 }}{4}\).

Gọi \(E = PQ \cap AC \Rightarrow E\) là trung điểm của PQ.

Xét (MNPQ) và (SAC) có: E chung, NP // SC

\( \Rightarrow \) Giao tuyến của (MNPQ) và (SAC) là đường thẳng qua E và song song với SC.

Trong (SAC) qua E kẻ đường thẳng song song với SC cắt SA tại F.

\( \Rightarrow \left( {MNPQ} \right) \cap \left( {SAC} \right) = EF//SC\).

Trong (MNPQ) gọi \(G = EF \cap MN \Rightarrow EG//SC//NP \Rightarrow \) G là trung điểm của MN.

Trong (SAF) kẻ \(AH \bot EF\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}PQ \bot AE\\PQ \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow PQ \bot \left( {AEF} \right) \Rightarrow PQ \bot AH\\\left\{ \begin{array}{l}AH \bot PQ\\AH \bot EF\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {MNPQ} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {MNPQ} \right)} \right) = AH\end{array}\).

Dễ thấy \(AE = \dfrac{3}{4}AC = \dfrac{3}{4}.a\sqrt 2 \).

\(SA = \sqrt {S{C^2} - A{C^2}} = \sqrt {3{a^2} - 2{a^2}} = a\).

Áp dụng định lí Ta-lét: \(\dfrac{{AF}}{{SA}} = \dfrac{{AE}}{{AC}} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow AF = \dfrac{3}{4}SA = \dfrac{{3a}}{4}\).

\( \Rightarrow AH = \dfrac{{AE.AF}}{{\sqrt {A{E^2} + A{F^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{4}.\dfrac{{3a}}{4}}}{{\sqrt {\dfrac{{9{a^2}}}{8} + \dfrac{{9{a^2}}}{{16}}} }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\).

Vậy \({V_{A.MNPQ}} = \dfrac{1}{3}d\left( {A,\left( {MNPQ} \right)} \right).{S_{MNPQ}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 6 }}{4} = \dfrac{{{a^3}}}{8}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.