Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( { - x} \right) +

Câu hỏi số 675489:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( { - x} \right) + 2018f\left( x \right) = 2x\sin x\). Tính \(I = \int\limits_{ - \dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \)?

A. \(\dfrac{4}{{2019}}\).

B. \(\dfrac{2}{{2019}}\).

C. \(\dfrac{2}{{2018}}\).

D. \(\dfrac{2}{{1009}}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:675489

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Ta có: \(f\left( { - x} \right) + 2018f\left( x \right) = 2x\sin x\) (1)

\( \Rightarrow f\left( x \right) + 2018f\left( { - x} \right) = - 2x.\sin \left( { - x} \right) = 2x\sin x\) (2)

Từ (1), (2) suy ra \(f\left( { - x} \right) + 2018f\left( x \right) = f\left( x \right) + 2018f\left( { - x} \right) \Rightarrow f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)\)

\( \Rightarrow \int\limits_{ - \dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - \dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( { - x} \right)dx} \)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\int\limits_{ - \dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( { - x} \right) + 2018f\left( x \right)} \right] = \int\limits_{ - \dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {2x\sin x} \right)dx} = 4} \\ \Rightarrow 2019\int\limits_{ - \dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = 4\\ \Rightarrow I = \dfrac{4}{{2019}}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.