Xét các số thực\(a,\,b,\,c \ge 1\) thỏa mãn \(6{\log _{2ab}}c = 1 + {\log _a}\left( {{b^2} + 1} \right).\log

Câu hỏi số 676356:

Vận dụng

Xét các số thực\(a,\,b,\,c \ge 1\) thỏa mãn \(6{\log _{2ab}}c = 1 + {\log _a}\left( {{b^2} + 1} \right).\log _{2b}^2c.\) Khi \({\log _c}\left( {2b} \right)\) đạt giá trị lớn nhất thì \(a + b + c\) gần với giá trị nào nhất sau đây?

A. \(8,21.\)

B. \(1,28.\)

C. \(9,63 \cdot \)

D. \(3,41 \cdot \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:676356

Phương pháp giải

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = {\log _c}2b\\y = {\log _c}a\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{6}{{x + y}} \ge 1 + \dfrac{1}{{xy}}\)

Tìm GTLN của \(x + y\)

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}6{\log _{2ab}}c = 1 + {\log _a}\left( {{b^2} + 1} \right).\log _{2b}^2c\\ \Leftrightarrow \dfrac{6}{{{{\log }_c}2ab}} \ge 1 + {\log _a}2b.\log _{2b}^2c\\ \Leftrightarrow \dfrac{6}{{{{\log }_c}2b + {{\log }_c}a}} \ge 1 + {\log _a}c.{\log _{2b}}c\end{array}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = {\log _c}2b\\y = {\log _c}a\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{6}{{x + y}} \ge 1 + \dfrac{1}{{xy}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{6}{{x + y}} \ge 1 + \dfrac{4}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{4}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} - \dfrac{6}{{x + y}} + 1 \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{4} \le \dfrac{1}{{x + y}} \le \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{4}\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 3 - \sqrt 5 \le x + y \le 3 + \sqrt 5 \)

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}b = 1\\x = y = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\{\log _c}2b = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\\{\log _c}a = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\a = 2\\c = 1,303\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 4,303\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.