Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), mặt phẳng \(\left( {SAC}

Câu hỏi số 676357:

Vận dụng cao

Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\). Khoảng cách từ \(O\) tới các mặt phẳng \(\left( {SAB} \right),\,\,\left( {SCD} \right)\) lần lượt là \(a\) và \(2a\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(O\) tiếp xúc với hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right),\,\,\left( {SAD} \right)\) có bán kính bằng

A. \(\dfrac{{\sqrt {10} a}}{2} \cdot \)

B. \(\dfrac{{2\sqrt 5 a}}{5} \cdot \)

C. \(3a.\)

D. \(\dfrac{{\sqrt {40} a}}{5} \cdot \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:676357

Giải chi tiết

Trong (SAC), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với SO cắt SA, SC lần lượt tại A’, C’.

\( \Rightarrow A'C' \bot \left( {SBD} \right)\)

Tương tự trong (SBD) kẻ đường thẳng qua O và vuông góc SO cắt SB, SD lần lượt tại B’,D’.

\( \Rightarrow B'D' \bot \left( {SAC} \right)\)

Khi đó SO,A’C’, B’D’ đôi một vuông góc

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{d\left( {O,SA'B'} \right)}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{{A'}^2}}} + \dfrac{1}{{O{{B'}^2}}}\)

Tương tự: \(\dfrac{1}{{d\left( {O,SC'D'} \right)}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{{A'}^2}}} + \dfrac{1}{{O{{D'}^2}}}\)

\(\dfrac{1}{{d\left( {O,SB'C'} \right)}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{{B'}^2}}} + \dfrac{1}{{O{{C'}^2}}}\)

\(\dfrac{1}{{d\left( {O,SA'D'} \right)}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{{A'}^2}}} + \dfrac{1}{{O{{D'}^2}}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{d\left( {O,SA'B'} \right)}} + \dfrac{1}{{d\left( {O,SC'D'} \right)}} = \dfrac{1}{{d\left( {O,SB'C'} \right)}} + \dfrac{1}{{d\left( {O,SA'D'} \right)}}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{4{a^2}}} = \dfrac{2}{{{R^2}}} \Rightarrow R = \dfrac{{2a\sqrt {10} }}{5}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.