Cho hàm số \(f(x) = a{x^3} + bx - c\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)\) với \(a,b,c\) là các số

Câu hỏi số 676672:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f(x) = a{x^3} + bx - c\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)\) với \(a,b,c\) là các số thực dương, biết \(f(1) = - 3,f(5) = 2\). Xét hàm số \(g(t) = \left| {3f(3 - 2t) + 2f(3t - 2) + m} \right|\), gọi \(S\)là tập hợp tất cả các giá trị thực của \(m\) sao cho \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} g(t) = 10\). Số phần tử của \(S\) là

A. \(4\)

B. \(3\).

C. \(2\).

D. \(1\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:676672

Phương pháp giải

Tìm \(f'\left( x \right)\) chứng minh \(f'\left( x \right)\) là hàm số chẵn và \(f'\left( m \right) = f'\left( n \right) \Leftrightarrow {m^2} = {n^2}\)

Đặt \(h\left( t \right) = 3f(3 - 2t) + 2f(3t - 2) + m\). Tính \(h'\left( x \right)\) và tìm nghiệm từ đó tìm GTLN

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}f(x) = a{x^3} + bx - c\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 3a{x^2} + b - \dfrac{c}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\end{array}\)

Ta thấy \(f'\left( x \right) = f'\left( { - x} \right)\) nên \(f'\left( x \right)\) là hàm số chẵn

Giả sử có 2 số m, n sao cho \(f'\left( m \right) = f'\left( n \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 3a{m^2} + b - \dfrac{c}{{\sqrt {1 + {m^2}} }} = 3a{n^2} + b - \dfrac{c}{{\sqrt {1 + {n^2}} }}\\ \Leftrightarrow 3a{m^2} - 3a{n^2} = \dfrac{c}{{\sqrt {1 + {m^2}} }} - \dfrac{c}{{\sqrt {1 + {n^2}} }}\\ \Leftrightarrow 3a\left( {{m^2} - {n^2}} \right) = \dfrac{{c\left( {\sqrt {1 + {n^2}} - \sqrt {1 + {m^2}} } \right)}}{{\sqrt {1 + {m^2}} .\sqrt {1 + {n^2}} }}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3a\left( {{m^2} - {n^2}} \right) = \dfrac{{ - c\left( {{m^2} - {n^2}} \right)}}{{\sqrt {1 + {m^2}} .\sqrt {1 + {m^2}} \left( {\sqrt {1 + {m^2}} + \sqrt {1 + {n^2}} } \right)}}\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} - {n^2}} \right)\left( {3a + \dfrac{c}{{\sqrt {1 + {m^2}} .\sqrt {1 + {m^2}} \left( {\sqrt {1 + {m^2}} + \sqrt {1 + {n^2}} } \right)}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - {n^2} = 0 \Leftrightarrow {m^2} = {n^2}\end{array}\)

Đặt \(h\left( t \right) = 3f(3 - 2t) + 2f(3t - 2) + m \Rightarrow h'\left( t \right) = - 6f'\left( {3 - 2t} \right) + 6f'\left( {3t - 2} \right)\)

\(\begin{array}{l}h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 6f'\left( {3 - 2t} \right) + 6f'\left( {3t - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow f'\left( {3 - 2t} \right) = f'\left( {3t - 2} \right) \Leftrightarrow {\left( {3 - 2t} \right)^2} = {\left( {3t - 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 9 - 12t + 4{t^2} = 9{t^2} - 12t + 4\\ \Leftrightarrow 5{t^2} = 5\\ \Leftrightarrow {t^2} = 1\\ \Leftrightarrow t = \pm 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow g\left( 1 \right) = \left| {3f\left( 1 \right) + 2f\left( 1 \right) + m} \right| = \left| {m - 15} \right|\\g\left( { - 1} \right) = \left| {3f\left( 5 \right) + 2f\left( { - 5} \right) + m} \right| = \left| {3f\left( 5 \right) - 2f\left( 5 \right) + m} \right| = \left| {m + 2} \right|\end{array}\)

\(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1,1} \right]} g\left( x \right) = \max \left\{ {g\left( 1 \right),g\left( { - 1} \right)} \right\} = \max \left\{ {\left| {m - 15} \right|,\left| {m + 2} \right|} \right\} = 10\)

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 15} \right| = 10\\\left| {m - 15} \right| > \left| {m + 2} \right|\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 25\)

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {m + 2} \right| = 10\\\left| {m + 2} \right| > \left| {m - 15} \right|\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 8\)

Vậy \(m \in \left\{ {8,25} \right\}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.